Можете помочь решить уравнение: 1/x + 1 + x + x² + ... + x^n ... = 4,5 при условии |x| < 1?

Алгебра Колледж Суммы бесконечных рядов решение уравнения алгебра уравнение с дробями x в степени n |x| < 1 математическая помощь алгебраические уравнения нахождение x Новый

Конечно, давайте разберем это уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение:

1/x + 1 + x + x² + ... + x^n ... = 4,5

Сначала обратим внимание на бесконечный ряд, который представлен в правой части уравнения. Этот ряд можно выразить через формулу суммы геометрической прогрессии.

Ряд 1 + x + x² + ... + x^n ... является геометрической прогрессией с первым членом равным 1 и знаменателем x. Сумма бесконечного геометрического ряда, где |x| < 1, вычисляется по формуле:

S = 1 / (1 - x)

Таким образом, мы можем переписать наше уравнение:

1/x + S = 4,5

где S = 1 / (1 - x).

Теперь подставим S в уравнение:

1/x + 1 / (1 - x) = 4,5

Теперь мы можем привести обе части уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен x(1 - x). Умножим каждую часть уравнения на этот общий знаменатель:

• 1 * (1 - x) + x * 1 = 4,5 * x * (1 - x)

Теперь раскроем скобки:

• (1 - x) + x = 4,5x - 4,5x²

Упрощаем левую часть:

• 1 = 4,5x - 4,5x²

Теперь можно привести уравнение к стандартному виду:

4,5x² - 4,5x + 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

D = b² - 4ac

где a = 4,5, b = -4,5, c = 1.

Подставим значения:

• D = (-4,5)² - 4 * 4,5 * 1
• D = 20,25 - 18 = 2,25

Теперь находим корни уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения:

• x = (4,5 ± √2,25) / (2 * 4,5)
• x = (4,5 ± 1,5) / 9

Теперь найдем два возможных значения x:

• x₁ = (4,5 + 1,5) / 9 = 6 / 9 = 2/3
• x₂ = (4,5 - 1,5) / 9 = 3 / 9 = 1/3

Мы получили два значения x: 2/3 и 1/3. Оба значения удовлетворяют условию |x| < 1.

Таким образом, ответ: x = 2/3 или x = 1/3.