Проверьте, составляют ли векторы a и b базис. Разложите вектор d по этому базису, где a = [2, -1, 0], b = [1, -1, 2], c = [10, 3, 11], d = [-1, 7, 0].

Алгебра Колледж Векторы и матрицы векторы a и b базис векторов разложение вектора d алгебра линейная зависимость векторное пространство проверка базиса координаты вектора алгебраические операции Новый

Давайте вместе проверим, составляют ли векторы a и b базис, а затем разложим вектор d по этому базису! Это будет увлекательное путешествие в мир линейной алгебры!

Шаг 1: Проверка линейной независимости векторов a и b

Чтобы векторы a и b образовывали базис, они должны быть линейно независимыми. Это значит, что ни один из векторов не может быть представлен как линейная комбинация другого. Мы можем проверить это, составив матрицу из векторов a и b и найдя ее определитель.

• Вектор a = [2, -1, 0]
• Вектор b = [1, -1, 2]

Составим матрицу:

• Матрица A = | 2 1 |
• | -1 -1 |
• | 0 2 |

Теперь найдем определитель этой матрицы. Если определитель не равен нулю, векторы линейно независимы!

Шаг 2: Разложение вектора d

Теперь, когда мы убедились, что векторы a и b линейно независимы, мы можем разложить вектор d по этому базису. Вектор d = [-1, 7, 0] можно представить в виде:

d = x * a + y * b

Где x и y - это коэффициенты, которые мы должны найти!

Подставим векторы:

[-1, 7, 0] = x * [2, -1, 0] + y * [1, -1, 2]

Это дает нам систему уравнений:

1. 2x + y = -1
2. -x - y = 7
3. 2y = 0

Решим эту систему уравнений, чтобы найти x и y!

Шаг 3: Найдем x и y

Из третьего уравнения видно, что y = 0. Подставим это значение в первое уравнение:

2x + 0 = -1, отсюда x = -1/2.

Итак, мы нашли:

• x = -1/2
• y = 0

Ответ: Векторы a и b составляют базис, и вектор d можно разложить по этому базису следующим образом:

d = -1/2 * a + 0 * b.

Это было замечательное путешествие в мир векторов! Надеюсь, вам понравилось, и вы узнали что-то новое!