Решите неравенства с использованием метода интервала:

1. (x - 5)² * (x² - 25) > 0
2. (x + 7)² * (x² - 49) < 0
3. (x - 3)(x² - 9) < 0
4. (x - 4)(x² - 16) > 0

Алгебра Колледж Неравенства неравенства метод интервала алгебра 12 класс решение неравенств Квадратные неравенства

Давайте решим эти неравенства с помощью метода интервала! Это будет увлекательно и познавательно!

1. (x - 5)² * (x² - 25) > 0

Сначала найдем нули:

• (x - 5)² = 0 -> x = 5 (двойной корень)
• x² - 25 = 0 -> x = 5 и x = -5

Теперь у нас есть нули: -5 и 5. Разделим числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -5)
• (-5, 5)
• (5, +∞)

Теперь проверим знаки на каждом интервале:

• Для (-∞, -5): (отрицательное)² * (положительное) < 0
• Для (-5, 5): (положительное)² * (отрицательное) < 0
• Для (5, +∞): (положительное)² * (положительное) > 0

Ответ: (5, +∞)

2. (x + 7)² * (x² - 49) < 0

Нули:

• (x + 7)² = 0 -> x = -7 (двойной корень)
• x² - 49 = 0 -> x = 7 и x = -7

Интервалы:

• (-∞, -7)
• (-7, 7)
• (7, +∞)

Проверяем знаки:

• Для (-∞, -7): (положительное)² * (положительное) > 0
• Для (-7, 7): (положительное)² * (отрицательное) < 0
• Для (7, +∞): (положительное)² * (положительное) > 0

Ответ: (-7, 7)

3. (x - 3)(x² - 9) < 0

Нули:

• (x - 3) = 0 -> x = 3
• x² - 9 = 0 -> x = 3 и x = -3

Интервалы:

• (-∞, -3)
• (-3, 3)
• (3, +∞)

Проверяем знаки:

• Для (-∞, -3): (отрицательное)(положительное) > 0
• Для (-3, 3): (положительное)(отрицательное) < 0
• Для (3, +∞): (положительное)(положительное) > 0

Ответ: (-3, 3)

4. (x - 4)(x² - 16) > 0

Нули:

• (x - 4) = 0 -> x = 4
• x² - 16 = 0 -> x = 4 и x = -4

Интервалы:

• (-∞, -4)
• (-4, 4)
• (4, +∞)

Проверяем знаки:

• Для (-∞, -4): (отрицательное)(положительное) > 0
• Для (-4, 4): (положительное)(отрицательное) < 0
• Для (4, +∞): (положительное)(положительное) > 0

Ответ: (-∞, -4) U (4, +∞)

Вот и все! Мы успешно решили все неравенства! Ура!

Давайте решим каждое из данных неравенств, используя метод интервалов. Этот метод включает в себя нахождение корней соответствующих уравнений, деление числовой оси на интервалы и проверку знака функции на каждом интервале.

1. Неравенство: (x - 5)² * (x² - 25) > 0

• Сначала найдем корни: (x - 5)² = 0 дает x = 5, а x² - 25 = 0 дает x = -5 и x = 5.
• Таким образом, корни: x = -5 и x = 5 (заметим, что x = 5 имеет кратность 2).
• Корни делят числовую ось на интервалы: (-∞, -5), (-5, 5) и (5, +∞).

Теперь проверим знак функции на каждом интервале:

• Для интервала (-∞, -5): выберем x = -6. Подставляем в (x - 5)² * (x² - 25): (6)² * (36 - 25) > 0, значит знак положительный.
• Для интервала (-5, 5): выберем x = 0. Подставляем: (5)² * (-25) < 0, значит знак отрицательный.
• Для интервала (5, +∞): выберем x = 6. Подставляем: (1)² * (11) > 0, значит знак положительный.

Ответ: (x - 5)² * (x² - 25) > 0 для x ∈ (-∞, -5) ∪ (5, +∞).

2. Неравенство: (x + 7)² * (x² - 49) < 0

• Корни: (x + 7)² = 0 дает x = -7, а x² - 49 = 0 дает x = -7 и x = 7.
• Корни: x = -7 и x = 7 (x = -7 имеет кратность 2).
• Интервалы: (-∞, -7), (-7, 7) и (7, +∞).

Проверим знак:

• Для интервала (-∞, -7): выберем x = -8. Подставляем: (1)² * (64) > 0.
• Для интервала (-7, 7): выберем x = 0. Подставляем: (7)² * (-49) < 0.
• Для интервала (7, +∞): выберем x = 8. Подставляем: (15)² * (15) > 0.

Ответ: (x + 7)² * (x² - 49) < 0 для x ∈ (-7, 7).

3. Неравенство: (x - 3)(x² - 9) < 0

• Корни: (x - 3) = 0 дает x = 3, а x² - 9 = 0 дает x = -3 и x = 3.
• Корни: x = -3 и x = 3.
• Интервалы: (-∞, -3), (-3, 3) и (3, +∞).

Проверим знак:

• Для интервала (-∞, -3): выберем x = -4. Подставляем: (-7)(7) < 0.
• Для интервала (-3, 3): выберем x = 0. Подставляем: (-3)(-9) > 0.
• Для интервала (3, +∞): выберем x = 4. Подставляем: (1)(7) > 0.

Ответ: (x - 3)(x² - 9) < 0 для x ∈ (-∞, -3).

4. Неравенство: (x - 4)(x² - 16) > 0

• Корни: (x - 4) = 0 дает x = 4, а x² - 16 = 0 дает x = -4 и x = 4.
• Корни: x = -4 и x = 4.
• Интервалы: (-∞, -4), (-4, 4) и (4, +∞).

Проверим знак:

• Для интервала (-∞, -4): выберем x = -5. Подставляем: (-9)(9) > 0.
• Для интервала (-4, 4): выберем x = 0. Подставляем: (-4)(-16) > 0.
• Для интервала (4, +∞): выберем x = 5. Подставляем: (1)(9) > 0.

Ответ: (x - 4)(x² - 16) > 0 для x ∈ (-∞, -4) ∪ (4, +∞).

Таким образом, мы решили все неравенства с использованием метода интервалов.