Для того чтобы сформулировать уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку и линию пересечения двух плоскостей, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти направление линии пересечения плоскостей:

   Для начала, найдем нормали к двум данным плоскостям. Нормали можно получить из коэффициентов при x, y и z в уравнениях плоскостей.

   • Для первой плоскости 2x - y + 2z - 6 = 0 нормаль: N1 = (2, -1, 2).
   • Для второй плоскости 3x + 2y - z + 3 = 0 нормаль: N2 = (3, 2, -1).

   Теперь найдем вектор направления линии пересечения двух плоскостей, который будет перпендикулярен обеим нормалям. Для этого мы используем векторное произведение:

   • Направляющий вектор линии пересечения: D = N1 × N2.
2. Вычислить векторное произведение:

   Вычислим векторное произведение N1 и N2:

   • D = N1 × N2 = |i j k|
   • |2 -1 2|
   • |3 2 -1|

   Раскроем определитель:

   • D = i((-1)(-1) - (2)(2)) - j((2)(-1) - (2)(3)) + k((2)(2) - (-1)(3)) = i(1 - 4) - j(-2 - 6) + k(4 + 3).
   • D = (-3, 8, 7).
3. Найти точку на линии пересечения:

   Теперь нам нужно найти точку, которая лежит на линии пересечения плоскостей. Для этого подставим, например, z = 0 в уравнения плоскостей:

   • 2x - y - 6 = 0
   • 3x + 2y + 3 = 0

   Решим эту систему уравнений:

   • Из первого уравнения выразим y: y = 2x - 6.
   • Подставим во второе: 3x + 2(2x - 6) + 3 = 0.
   • 3x + 4x - 12 + 3 = 0 => 7x - 9 = 0 => x = 9/7.
   • Теперь найдем y: y = 2(9/7) - 6 = 18/7 - 42/7 = -24/7.
   • Таким образом, точка на линии пересечения: P(9/7, -24/7, 0).
4. Сформулировать уравнение плоскости:

   Теперь, зная точку M(1, -2, 3) и направление D(-3, 8, 7), мы можем использовать уравнение плоскости в векторной форме:

   n(x - x0) + m(y - y0) + p(z - z0) = 0, где (x0, y0, z0) - координаты точки M, а (n, m, p) - компоненты вектора D.

   Подставим значения:

   • -3(x - 1) + 8(y + 2) + 7(z - 3) = 0.

   Раскроем скобки:

   • -3x + 3 + 8y + 16 + 7z - 21 = 0.
   • -3x + 8y + 7z - 2 = 0.

   Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку M и линию пересечения двух плоскостей, будет:

   -3x + 8y + 7z - 2 = 0.