СРОЧНО!

Используя метод касательных, определите корни уравнения:

x²-2х-4=0 на интервале [3;5] с точностью до 0,001

(ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ)

Алгебра Колледж Численные методы решения уравнений метод касательных корни уравнения алгебра численные методы x²-2x-4=0 интервал [3;5] точность 0,001 Новый

Для решения уравнения x² - 2x - 4 = 0 с использованием метода касательных (метода Ньютона) на интервале [3; 5], давайте следовать пошагово.

Шаг 1: Определение функции и её производной

Сначала мы определим функцию, которую будем исследовать:

f(x) = x² - 2x - 4

Теперь найдем производную этой функции:

f'(x) = 2x - 2

Шаг 2: Выбор начальной точки

Выберем начальную точку x₀ в интервале [3; 5]. Пусть x₀ = 4.

Шаг 3: Применение метода касательных

Метод касательных заключается в следующем: мы будем использовать формулу:

x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)

Теперь подставим x₀ = 4 в формулы для f(x) и f'(x):

• f(4) = 4² - 2*4 - 4 = 16 - 8 - 4 = 4
• f'(4) = 2*4 - 2 = 8 - 2 = 6

Теперь подставим значения в формулу:

x₁ = 4 - 4 / 6 = 4 - 0.6667 ≈ 3.3333

Шаг 4: Повторение процесса

Теперь будем повторять процесс, используя новое значение x₁:

• f(3.3333) = (3.3333)² - 2*3.3333 - 4 ≈ 1.1111
• f'(3.3333) = 2*3.3333 - 2 ≈ 4.6667

Теперь вычислим x₂:

x₂ = 3.3333 - 1.1111 / 4.6667 ≈ 3.3333 - 0.2381 ≈ 3.0952

Продолжаем процесс:

• f(3.0952) ≈ -0.2035
• f'(3.0952) ≈ 4.1905

Теперь вычислим x₃:

x₃ = 3.0952 - (-0.2035) / 4.1905 ≈ 3.0952 + 0.0486 ≈ 3.1438

Повторим еще раз:

• f(3.1438) ≈ -0.0043
• f'(3.1438) ≈ 4.2876

Вычисляем x₄:

x₄ = 3.1438 - (-0.0043) / 4.2876 ≈ 3.1438 + 0.0010 ≈ 3.1448

И последний шаг:

• f(3.1448) ≈ 0.0001
• f'(3.1448) ≈ 4.2896

Вычисляем x₅:

x₅ = 3.1448 - 0.0001 / 4.2896 ≈ 3.1448 - 0.0000233 ≈ 3.1448

Теперь, если мы сравним |x₅ - x₄|, мы видим, что разница меньше 0.001, что соответствует нашей точности.

Ответ: Корень уравнения x² - 2x - 4 = 0 на интервале [3; 5] с точностью до 0.001 равен примерно 3.1448.