Для начала, давайте рассмотрим первую последовательность x_n = n^2 - 9n - 100.

Эта последовательность является квадратичной функцией, и ее график представляет собой параболу, открывающуюся вверх. Чтобы найти инфимум и супремум, нам нужно определить, есть ли у этой функции минимум.

• Коэффициенты: a = 1, b = -9, c = -100.
• Формула для нахождения координаты вершины параболы: x_0 = -b/(2a) = 9/2 = 4.5.
• Теперь подставим x_0 в функцию для нахождения минимального значения: x(4.5) = (4.5)^2 - 9*(4.5) - 100 = 20.25 - 40.5 - 100 = -120.25.

Таким образом, инфимум будет равен -120.25, а так как парабола открыта вверх, супремум стремится к бесконечности:

Поскольку последовательность стремится к бесконечности, мы можем сказать, что:

Теперь перейдем ко второй последовательности x_n = n + 100/n.

Эта последовательность состоит из линейного и дробного членов. Чтобы понять поведение этой последовательности, рассмотрим ее предел при n, стремящемся к бесконечности:

• lim_{n→∞} x_n = lim_{n→∞} (n + 100/n) = ∞, так как 100/n стремится к 0.

Следовательно, супремум также стремится к бесконечности. Теперь найдем инфимум:

• Поскольку 100/n положительно и стремится к 0, то для всех n > 0, x_n всегда будет больше n.
• Таким образом, минимальное значение происходит при n = 1: x(1) = 1 + 100/1 = 101.

Итак, инфимум равен 101, а супремум стремится к бесконечности:

Поскольку последовательность также стремится к бесконечности:

В итоге, мы получили следующие результаты:

• Для x_n = n^2 - 9n - 100:
  • inf x_n = -120.25
  • sup x_n = +∞
  • liminf_{n→∞} x_n = -120.25
  • limsup_{n→∞} x_n = +∞
• Для x_n = n + 100/n:
  • inf x_n = 101
  • sup x_n = +∞
  • liminf_{n→∞} x_n = 101
  • limsup_{n→∞} x_n = +∞