2025-11-02 03:01:14
Как можно вычислить интеграл
∫(4y + 4) dx + (3x + 3y + 4) dy
по различным путям, соединяющим точки O(0, 0), A(2, 6), B(2, 0), C(0, 6):
- L = OA;
- L = OCA;
- L = OBA;
- L — дуга OA параболы y = (3/2)x².
Алгебра Университет Интегралы и методы их вычисления интеграл вычисление интеграла алгебра пути интегрирования точки OAB дуга OA парабола математический анализ алгебраические функции интегральное исчисление Новый
2025-11-02 03:01:36
Чтобы вычислить интеграл ∫(4y + 4) dx + (3x + 3y + 4) dy по различным путям, соединяющим заданные точки, мы будем использовать параметрическое представление каждого пути. Для этого рассмотрим каждый путь по отдельности.
1. Путь OA (прямолинейный от O до A):- Параметризация: x = t, y = 3t (где t изменяется от 0 до 2).
- dx = dt, dy = 3dt.
- Подставляем в интеграл:
- ∫(4(3t) + 4) dt + (3t + 3(3t) + 4)(3dt).
- Упрощаем и вычисляем интеграл по t от 0 до 2.
- Сначала идем от O до C (x = 0, y = t, t изменяется от 0 до 6):
- dx = 0, dy = dt.
- Интеграл становится ∫(4t + 4)(0) + (3(0) + 3t + 4) dt.
- Затем идем от C до A (x = t, y = 6 - 3t, t изменяется от 0 до 2):
- dx = dt, dy = -3dt.
- Интеграл становится ∫(4(6 - 3t) + 4) dt + (3t + 3(6 - 3t) + 4)(-3dt).
- Складываем результаты интегралов.
- Идем от O до B (x = 2, y = 0):
- dx = 0, dy = dt (t изменяется от 0 до 6):
- Интеграл становится ∫(4(0) + 4)(0) + (3(2) + 3(0) + 4) dt.
- Затем от B до A (x = 2, y = t):
- dx = 0, dy = dt (t изменяется от 0 до 6):
- Интеграл становится ∫(4t + 4)(0) + (3(2) + 3t + 4) dt.
- Складываем результаты интегралов.
- Параметризация: x = t, y = (3/2)t² (где t изменяется от 0 до 2).
- dx = dt, dy = 3t dt.
- Интеграл становится ∫(4(3/2)t² + 4) dt + (3t + 3(3/2)t² + 4)(3t dt).
- Упрощаем и вычисляем интеграл по t от 0 до 2.
После того как вы вычислите интегралы для каждого пути, вы получите разные значения, которые могут быть сравнимы. Важно помнить, что если векторное поле является консервативным, интегралы по любым путям, соединяющим одни и те же точки, должны совпадать.