Чтобы проверить равенства пределов по определению, нужно использовать формулировку предела. В общем случае, мы говорим, что lim x при x стремящемся к a от f(x) = L, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что если 0 < |x - a| < δ, то |f(x) - L| < ε.

Теперь рассмотрим каждое из предложенных равенств пределов:

1. lim x при x стремящемся к 2 от x^3 равен 8:
   • Мы хотим показать, что для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что, если 0 < |x - 2| < δ, то |x^3 - 8| < ε.
   • Заметим, что x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4).
   • При x, близком к 2, выражение x^2 + 2x + 4 будет близко к 12 (так как 2^2 + 2*2 + 4 = 12).
   • Таким образом, |x^3 - 8| = |(x - 2)(x^2 + 2x + 4)| < ε, если |x - 2| < ε/12.
   • Следовательно, выберем δ = min(1, ε/12). Это обеспечит выполнение условия.
2. lim x при x стремящемся к 4 от корня из x равен 2:
   • Нам нужно показать, что для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что, если 0 < |x - 4| < δ, то |√x - 2| < ε.
   • Мы можем переписать |√x - 2| как |(√x - 2)(√x + 2)/(√x + 2)| = |x - 4|/(√x + 2).
   • При x, близком к 4, √x + 2 будет близко к 4.
   • Таким образом, |√x - 2| < |x - 4|/4, и мы можем выбрать δ = min(1, 4ε). Это выполнит требование.
3. lim x при x стремящемся к π от косинуса x равен -1:
   • Нужно показать, что для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что, если 0 < |x - π| < δ, то |cos(x) + 1| < ε.
   • Косинус является непрерывной функцией, и мы знаем, что cos(π) = -1.
   • Таким образом, |cos(x) + 1| = |cos(x) - cos(π)|.
   • По теореме о непрерывности, мы можем выбрать δ = ε, чтобы обеспечить выполнение условия.
4. lim x при x стремящемся к +бесконечности от арктангенса x равен π/2:
   • Здесь мы хотим показать, что для любого ε > 0 существует N > 0, такое что, если x > N, то |arctan(x) - π/2| < ε.
   • Функция arctan(x) приближается к π/2, когда x стремится к бесконечности.
   • Мы знаем, что |arctan(x) - π/2| = |π/2 - arctan(x)|, и можем оценить это выражение.
   • При больших значениях x, arctan(x) становится очень близким к π/2, и мы можем выбрать N таким образом, чтобы |arctan(x) - π/2| < ε.

Таким образом, мы проверили все предложенные пределы по определению и убедились в их правильности.