Какой остаток получается при делении (3 в 16 степени - 2 в 25 степени умножить на 5 в 15 степени) в 40 степени на 37, используя малую теорему Ферма?

Алгебра Университет Малая теорема Ферма остаток при делении 3 в 16 степени 2 в 25 степени 5 в 15 степени малая теорема Ферма алгебра математические вычисления деление на 37 остаток от деления задачи по алгебре

Для решения задачи будем использовать малую теорему Ферма, которая гласит, что если p - простое число, а a - целое число, не делящееся на p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

В нашем случае нам нужно найти остаток от деления выражения (3^16 - 2^25 * 5^15) в 40 степени на 37. Сначала упростим выражение под модулем 37.

Шаг 1: Вычислим 3^16 mod 37

• Применим малую теорему Ферма: 3^(36) ≡ 1 (mod 37).
• Нам нужно 3^16, так что 3^16 mod 37 будет вычисляться напрямую.
• Вычислим 3^2 = 9, 3^4 = 9^2 = 81 ≡ 7 (mod 37), 3^8 = 7^2 = 49 ≡ 12 (mod 37).
• Теперь 3^16 = (3^8)^2 = 12^2 = 144 ≡ 33 (mod 37).

Шаг 2: Вычислим 2^25 mod 37

• По теореме Ферма: 2^(36) ≡ 1 (mod 37).
• Вычислим 2^2 = 4, 2^4 = 16, 2^8 = 256 ≡ 34 (mod 37), 2^16 = 34^2 = 1156 ≡ 10 (mod 37).
• Теперь 2^24 = (2^16 * 2^8) mod 37 = (10 * 34) mod 37 ≡ 24 (mod 37).
• Следовательно, 2^25 = 2^24 * 2 = 24 * 2 = 48 ≡ 11 (mod 37).

Шаг 3: Вычислим 5^15 mod 37

• По теореме Ферма: 5^(36) ≡ 1 (mod 37).
• Вычислим 5^2 = 25, 5^4 = 25^2 = 625 ≡ 34 (mod 37), 5^8 = 34^2 = 1156 ≡ 10 (mod 37).
• Теперь 5^15 = (5^8 * 5^4 * 5^2 * 5) mod 37 = (10 * 34 * 25 * 5) mod 37.
• Сначала 10 * 34 = 340 ≡ 10 (mod 37), затем 10 * 25 = 250 ≡ 26 (mod 37), и наконец 26 * 5 = 130 ≡ 19 (mod 37).

Шаг 4: Подставим все значения в исходное выражение

• Теперь у нас есть 3^16 ≡ 33 (mod 37), 2^25 * 5^15 ≡ 11 * 19 ≡ 209 ≡ 24 (mod 37).
• Теперь вычисляем 3^16 - 2^25 * 5^15 ≡ 33 - 24 ≡ 9 (mod 37).

Шаг 5: Найдем остаток от деления 9^40 на 37

• По теореме Ферма: 9^(36) ≡ 1 (mod 37).
• Вычислим 9^4 = 6561 ≡ 30 (mod 37).
• Теперь 9^40 = (9^36 * 9^4) mod 37 ≡ 1 * 30 ≡ 30 (mod 37).

Таким образом, остаток от деления (3^16 - 2^25 * 5^15) в 40 степени на 37 равен 30.

Давай разберемся с этой задачей с энтузиазмом и энергией!

Мы хотим найти остаток от деления выражения (3 в 16 степени - 2 в 25 степени умножить на 5 в 15 степени) в 40 степени на 37. Для этого мы применим малую теорему Ферма, которая гласит, что если p - простое число, а a - целое число, не делящееся на p, то a в (p-1) степени ≡ 1 (mod p).

В нашем случае p = 37. Давайте найдем остатки от каждого из слагаемых в выражении:

• 1. Для 3 в 16 степени:

По малой теореме Ферма, 3 в 36 степени ≡ 1 (mod 37). Значит, 3 в 16 степени ≡ 3 в 16 (mod 37).

• 2. Для 2 в 25 степени:

2 в 36 степени ≡ 1 (mod 37). Значит, 2 в 25 степени ≡ 2 в 25 (mod 37).

• 3. Для 5 в 15 степени:

5 в 36 степени ≡ 1 (mod 37). Значит, 5 в 15 степени ≡ 5 в 15 (mod 37).

Теперь нужно вычислить:

(3^16 - 2^25 * 5^15) в 40 степени (mod 37).

Сначала найдем 3 в 16 степени:

• 3 в 16 = 43046721.
• 43046721 mod 37 = 30.

Теперь найдем 2 в 25 степени:

• 2 в 25 = 33554432.
• 33554432 mod 37 = 26.

Теперь найдем 5 в 15 степени:

• 5 в 15 = 30517578125.
• 30517578125 mod 37 = 34.

Теперь подставим все найденные значения:

30 - (26 * 34) mod 37.

Сначала найдем произведение:

• 26 * 34 = 884.
• 884 mod 37 = 36.

Теперь подставим это значение:

30 - 36 mod 37 = -6 mod 37 = 31.

Итак, остаток при делении (3 в 16 степени - 2 в 25 степени умножить на 5 в 15 степени) в 40 степени на 37 равен 31!

Вот так, с помощью малой теоремы Ферма, мы пришли к ответу! Надеюсь, это было интересно и увлекательно!