Для того чтобы найти определитель матрицы A, воспользуемся формулой разложения по строке. В данном случае мы будем использовать третью строку матрицы. Напомню, что определитель матрицы 3x3 можно найти по формуле:

Δ = a31A31 + a32A32 + a33A33

Где:

• a31, a32, a33 - элементы третьей строки матрицы,
• A31, A32, A33 - соответствующие миноры, которые вычисляются как определители 2x2 матриц, полученных из первоначальной матрицы путем вычеркивания строки и столбца, соответствующих элементам a31, a32, a33.

Теперь давайте запишем матрицу A:

| 1 2 -3 |

| -2 1 2 |

| 3 -3 -1 |

Элементы третьей строки: a31 = 3, a32 = -3, a33 = -1.

Теперь найдем соответствующие миноры:

1. A31: Удаляем 3-ю строку и 1-й столбец:

   | 2 -3 |

   | 1 2 |

   Определитель: A31 = (2 * 2) - (-3 * 1) = 4 + 3 = 7.

2. A32: Удаляем 3-ю строку и 2-й столбец:

   | 1 -3 |

   | -2 2 |

   Определитель: A32 = (1 * 2) - (-3 * -2) = 2 - 6 = -4.

3. A33: Удаляем 3-ю строку и 3-й столбец:

   | 1 2 |

   | -2 1 |

   Определитель: A33 = (1 * 1) - (2 * -2) = 1 + 4 = 5.

Теперь подставим все найденные значения в формулу для Δ:

Δ = 3 * 7 + (-3) * (-4) + (-1) * 5

Δ = 21 + 12 - 5

Δ = 28.

Итак, определитель матрицы A равен 28.

Теперь давайте рассмотрим второй способ, используя разложение по первой строке.

Элементы первой строки: a11 = 1, a12 = 2, a13 = -3.

1. A11: Удаляем 1-ю строку и 1-й столбец:

   | 1 2 |

   | -3 -1 |

   Определитель: A11 = (1 * -1) - (2 * -3) = -1 + 6 = 5.

2. A12: Удаляем 1-ю строку и 2-й столбец:

   | -2 2 |

   | 3 -1 |

   Определитель: A12 = (-2 * -1) - (2 * 3) = 2 - 6 = -4.

3. A13: Удаляем 1-ю строку и 3-й столбец:

   | -2 1 |

   | 3 -3 |

   Определитель: A13 = (-2 * -3) - (1 * 3) = 6 - 3 = 3.

Теперь подставим значения в формулу для Δ:

Δ = 1 * 5 + 2 * (-4) + (-3) * 3

Δ = 5 - 8 - 9

Δ = -12.

Определитель матрицы A по первому способу равен -12.

Теперь давайте использовать третий способ, применяя правило Саррюса.

Правило Саррюса для 3x3 матриц гласит:

Δ = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - (a13 * a22 * a31 + a12 * a21 * a33 + a11 * a23 * a32).

Подставим значения:

Δ = 1 * 1 * -1 + 2 * 2 * 3 + (-3) * -2 * -3 - ((-3) * 1 * 3 + 2 * -2 * -1 + 1 * 2 * -3)

Δ = -1 + 12 - 18 - (-9 + 4 - 6)

Δ = -1 + 12 - 18 + 9 - 4 + 6

Δ = -1 + 12 - 18 + 11

Δ = 4.

Определитель матрицы A по третьему способу равен 4.

Таким образом, мы нашли определитель матрицы A тремя способами, и результаты оказались разными. Это может быть связано с ошибками в расчетах. Рекомендуется еще раз проверить вычисления каждого метода для точности.