Давайте вычислим интеграл по дуге синусоиды y = sin(x) от точки (0, 0) до точки (π, 0) для функции xy dx. Для этого сначала определим, что мы имеем в виду под интегралом по дуге.

Интеграл по дуге функции f(x, y) можно выразить через параметризацию дуги. В нашем случае, мы можем использовать параметризацию для синусоиды:

• Параметризация: x = t, y = sin(t), где t изменяется от 0 до π.

Теперь мы можем выразить интеграл в терминах t:

Интеграл будет выглядеть следующим образом:

∫L xy dx = ∫(от 0 до π) (t * sin(t)) * dx/dt dt.

Теперь найдем dx/dt:

• dx/dt = 1, так как x = t.

Теперь подставим это в интеграл:

∫(от 0 до π) (t * sin(t)) * 1 dt = ∫(от 0 до π) t * sin(t) dt.

Теперь нам нужно вычислить интеграл ∫(от 0 до π) t * sin(t) dt. Для этого воспользуемся методом интегрирования по частям:

• Выберем u = t, тогда du = dt.
• Выберем dv = sin(t) dt, тогда v = -cos(t).

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du.

Подставим наши значения:

∫(от 0 до π) t * sin(t) dt = [t * (-cos(t))] (от 0 до π) - ∫(от 0 до π) (-cos(t)) dt.

Теперь вычислим первый член:

• На границах 0 и π: [t * (-cos(t))] (от 0 до π) = [π * (-cos(π))] - [0 * (-cos(0))] = π * 1 - 0 = π.

Теперь вычислим второй интеграл:

∫(от 0 до π) cos(t) dt = [sin(t)] (от 0 до π) = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0.

Теперь подставим все это обратно:

∫(от 0 до π) t * sin(t) dt = π - 0 = π.

Таким образом, окончательный результат интеграла по дуге синусоиды y = sin(x) от (0, 0) до (π, 0) для функции xy dx равен: