Чтобы вычислить интеграл по окружности, заданной уравнением x^2 + y^2 = ax, для функции (x - y) ds, сначала преобразуем уравнение окружности.

Уравнение x^2 + y^2 = ax можно переписать в более удобной форме. Мы можем выразить его как:

• x^2 - ax + y^2 = 0.

Теперь мы можем выделить полный квадрат для x:

• (x - a/2)^2 + y^2 = (a/2)^2.

Это уравнение описывает окружность с центром в точке (a/2, 0) и радиусом a/2.

Теперь, чтобы вычислить интеграл, мы воспользуемся параметрическим представлением окружности. Пусть:

• x = (a/2) + (a/2)cos(t),
• y = (a/2)sin(t),
• где t изменяется от 0 до 2π.

Теперь вычислим ds, дифференциал длины дуги:

• ds = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt.

Вычислим производные dx/dt и dy/dt:

• dx/dt = -(a/2)sin(t),
• dy/dt = (a/2)cos(t).

Теперь подставим в формулу для ds:

• ds = sqrt((-(a/2)sin(t))^2 + ((a/2)cos(t))^2) dt = sqrt((a^2/4)(sin^2(t) + cos^2(t))) dt = (a/2) dt.

Теперь подставим x и y в функцию (x - y):

• x - y = ((a/2) + (a/2)cos(t)) - ((a/2)sin(t)) = (a/2)(1 + cos(t) - sin(t)).

Теперь мы можем выразить интеграл:

• ∫(x - y) ds = ∫((a/2)(1 + cos(t) - sin(t))) * (a/2) dt = (a^2/4) ∫(1 + cos(t) - sin(t)) dt.

Теперь вычислим интеграл от 0 до 2π:

• ∫(1 + cos(t) - sin(t)) dt = [t + sin(t) + cos(t)] от 0 до 2π.

Подставляя пределы:

• При t = 2π: 2π + sin(2π) + cos(2π) = 2π + 0 - 1 = 2π - 1.
• При t = 0: 0 + sin(0) + cos(0) = 0 + 0 + 1 = 1.

Теперь вычтем:

• (2π - 1) - 1 = 2π - 2.

Теперь подставим это значение обратно в интеграл:

• ∫(x - y) ds = (a^2/4) * (2π - 2) = (a^2/4)(2(π - 1)) = (a^2/2)(π - 1).

Таким образом, окончательный ответ для интеграла: