2025-10-27 02:21:13
Задача 4. Функция f: R^n → R называется однородной степени m, если выполняется равенство f(λx) = λ^m f(x).
Докажите, что если функция f является дифференцируемой, то она однородна степени m тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
mf = ∂f/∂x1 * x1 + ... + ∂f/∂xn * xn.
Найдите все функции, которые являются непрерывно дифференцируемыми и однородными степени 1.
Алгебра Университет Однородные функции и их свойства алгебра однородная функция дифференцируемая функция степень однородности доказательство непрерывно дифференцируемые функции функции степени 1 равенство функций производная математический анализ Новый
2025-10-27 02:21:33
Для начала давайте разберем, что значит, что функция f является однородной степени m. Это означает, что для любого λ > 0 и для любого вектора x из R^n выполняется равенство:
f(λx) = λ^m f(x).
Теперь, чтобы доказать, что если функция f является дифференцируемой, то она однородна степени m тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
mf = ∂f/∂x1 * x1 + ... + ∂f/∂xn * xn.
Мы можем следовать следующим шагам:
- Шаг 1: Проверка однородности через дифференцирование. Предположим, что функция f однородна степени m. Тогда, по определению, для любого λ:
- Вычислим производную по x1, x2, ..., xn с использованием правила цепи:
- ∂f/∂xi = lim (h → 0) [f(x1, ..., xi + h, ..., xn) - f(x)] / h.
- Шаг 2: Подстановка λ = 1 + ε. Подставим λ = 1 + ε (где ε → 0) в равенство f(λx).
- Шаг 3: Применение теоремы о производной. В результате получаем, что при малом ε, производная функции f в точке x будет равна:
- mf(x) = ∂f/∂x1 * x1 + ... + ∂f/∂xn * xn.
- Шаг 4: Обратное направление. Теперь покажем, что если выполняется равенство mf = ∂f/∂x1 * x1 + ... + ∂f/∂xn * xn, то f однородна степени m. Используем тот факт, что данное равенство указывает на то, что при увеличении всех переменных x в k раз, функция f будет увеличиваться в k^m раз.
Теперь, чтобы найти все функции, которые являются непрерывно дифференцируемыми и однородными степени 1, нам нужно решить уравнение:
f = ∂f/∂x1 * x1 + ... + ∂f/∂xn * xn.
Решение этого уравнения подразумевает, что функция f может быть представлена в виде:
f(x1, x2, ..., xn) = g(x1, x2, ..., xn),
где g - это линейная функция. Таким образом, все функции, которые являются непрерывно дифференцируемыми и однородными степени 1, имеют вид:
f(x1, x2, ..., xn) = a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn,
где a1, a2, ..., an - некоторые константы.