2025-10-28 21:02:36
Задача 6. Для линейного оператора, имеющего в некотором ортонормированном базисе матрицу A = (sqrt(3) -2; 0 sqrt(3)), найти полярное разложение A = BU, где матрица B симметрическая, а U – ортогональная.
Алгебра Университет Полярное разложение матрицы полярное разложение линейный оператор матрица A симметрическая матрица ортогональная матрица ортонормированный базис алгебра задачи по алгебре Новый
2025-10-28 21:03:12
Для решения задачи о полярном разложении матрицы A, нам необходимо найти две матрицы: симметрическую матрицу B и ортогональную матрицу U, такие что A = BU.
Давайте начнем с матрицы A:
A = (sqrt(3) -2; 0 sqrt(3))
Шаг 1: Находим матрицу B.
Сначала найдем матрицу B, которая определяется как B = sqrt(A^T * A), где A^T – транспонированная матрица A.
Сначала вычислим A^T:
A^T = (sqrt(3) 0; -2 sqrt(3))
Теперь найдем произведение A^T * A:
A^T * A = (sqrt(3) 0; -2 sqrt(3)) * (sqrt(3) -2; 0 sqrt(3))
Выполним умножение матриц:
- Первый элемент: sqrt(3)*sqrt(3) + 0*(-2) = 3
- Второй элемент: sqrt(3)*(-2) + 0*sqrt(3) = -2sqrt(3)
- Третий элемент: -2*sqrt(3) + sqrt(3)*0 = -2sqrt(3)
- Четвертый элемент: -2*(-2) + sqrt(3)*sqrt(3) = 4 + 3 = 7
Таким образом, A^T * A = (3 -2sqrt(3); -2sqrt(3) 7)
Теперь найдем квадратный корень из этой матрицы, чтобы получить B. Для этого найдем собственные значения и собственные векторы матрицы A^T * A.
Собственные значения можно найти из характеристического уравнения det(A^T * A - λI) = 0, где I – единичная матрица.
Шаг 2: Находим собственные значения.
Характеристическое уравнение:
det((3 - λ -2sqrt(3); -2sqrt(3) 7 - λ)) = 0
Вычислим детерминант:
- (3 - λ)(7 - λ) - (-2sqrt(3))(-2sqrt(3)) = 0
- (3 - λ)(7 - λ) - 12 = 0
- λ^2 - 10λ + 21 - 12 = 0
- λ^2 - 10λ + 9 = 0
Решаем это уравнение:
λ = (10 ± sqrt(10^2 - 4*1*9)) / 2*1 = (10 ± sqrt(100 - 36)) / 2 = (10 ± sqrt(64)) / 2 = (10 ± 8) / 2
Таким образом, λ1 = 9 и λ2 = 1.
Шаг 3: Находим собственные векторы.
Для λ1 = 9:
(A^T * A - 9I)v = 0:
(3 - 9 -2sqrt(3); -2sqrt(3) 7 - 9)v = (−6 -2sqrt(3); -2sqrt(3) -2)v = 0
Решая это уравнение, находим собственный вектор v1.
Для λ2 = 1:
(A^T * A - 1I)v = 0:
(3 - 1 -2sqrt(3); -2sqrt(3) 7 - 1)v = (2 -2sqrt(3); -2sqrt(3) 6)v = 0
Решая это уравнение, находим собственный вектор v2.
Шаг 4: Формируем матрицу B.
Собственные векторы нормируем и составляем матрицу B из них.
Шаг 5: Находим матрицу U.
Теперь мы можем найти матрицу U, используя формулу U = A * B^(-1). Здесь B^(-1) – обратная матрица к B.
Шаг 6: Проверяем, что A = BU.
После того как мы нашли матрицы B и U, мы можем проверить, что произведение BU действительно равно A, что подтвердит корректность полярного разложения.
Таким образом, мы нашли полярное разложение матрицы A.