2025-11-02 00:19:43
Задание 2. В каких случаях отношение эквивалентности называют правоинвариантным? Построить правоинвариантное отношение эквивалентности конечного индекса на {0, 1}*, объединением некоторых классов эквивалентности которого является множество X всех непустых слов в алфавите {0, 1}, в которых первый символ равен остатку от деления длины слова на 2.
Алгебра Университет Тематика: Теория множеств и отношения эквивалентности отношение эквивалентности правоинвариантное отношение классы эквивалентности конечный индекс множество X непустые слова алфавит 0 1 первый символ остаток от деления длина слова Новый
2025-11-02 00:19:57
Отношение эквивалентности называется правоинвариантным, если для любых элементов a и b, а также для любого элемента c из некоторого множества, выполняется следующее: если a эквивалентно b, то a * c эквивалентно b * c. Это означает, что добавление одного и того же элемента c справа к эквивалентным элементам не нарушает их эквивалентности.
Теперь давайте построим правоинвариантное отношение эквивалентности для конечного индекса на множестве {0, 1}* так, чтобы объединение некоторых классов эквивалентности дало нам множество X всех непустых слов, в которых первый символ равен остатку от деления длины слова на 2.
Для этого определим отношение эквивалентности следующим образом:
- Пусть u и v - два слова из {0, 1}*.
- Скажем, что u эквивалентно v (обозначим это как u ~ v), если длина слова u и длина слова v имеют одинаковый остаток от деления на 2, и первый символ слова u равен первому символу слова v.
Таким образом, в нашем случае мы можем выделить два класса эквивалентности:
- Класс 1: слова, длина которых четная, и первый символ равен 0.
- Класс 2: слова, длина которых четная, и первый символ равен 1.
- Класс 3: слова, длина которых нечетная, и первый символ равен 0.
- Класс 4: слова, длина которых нечетная, и первый символ равен 1.
Теперь, чтобы объединить эти классы эквивалентности, мы можем рассмотреть множество X, состоящее из всех непустых слов, которые соответствуют условию: первый символ равен остатку от деления длины слова на 2.
Таким образом, в нашем случае:
- Если длина слова четная, то первый символ должен быть 0.
- Если длина слова нечетная, то первый символ должен быть 1.
Это и будет объединение классов эквивалентности, которое мы искали. Мы построили правоинвариантное отношение эквивалентности, которое соответствует заданным условиям.