Давайте разберем каждое предложение и закончим его, используя правильную форму: инфинитив или герундий. Также я переведу каждое предложение на русский язык.

1. I started (write) ______ my letter this afternoon.
   Правильный ответ: to write.
   Перевод: Я начал писать свое письмо сегодня днем.
2. She promised (go) ________ to the doctor.
   Правильный ответ: to go.
   Перевод: Она пообещала пойти к врачу.
3. (Travel) __________ by air is interesting.
   Правильный ответ: Traveling.
   Перевод: Путешествовать на самолете - это интересно.
4. She enjoys (cook) ________ Indian meals.
   Правильный ответ: cooking.
   Перевод: Ей нравится готовить индийские блюда.
5. Would you mind (open) ________ the window?
   Правильный ответ: opening.
   Перевод: Вы не против открыть окно?
6. Let me (explain) _____ the exercise to you.
   Правильный ответ: explain.
   Перевод: Позвольте мне объяснить вам это упражнение.
7. I'm looking forward to (see)_________ my parents again.
   Правильный ответ: seeing.
   Перевод: Я с нетерпением жду встречи с родителями снова.
8. Peter gave up (learn) _______ Chinese.
   Правильный ответ: learning.
   Перевод: Питер бросил учить китайский.
9. Last night, we tried (call) ______ our parents.
   Правильный ответ: to call.
   Перевод: Вчера вечером мы пытались позвонить нашим родителям.
10. Are you interested in (visit) _______ museums?
    Правильный ответ: visiting.
    Перевод: Вы заинтересованы в посещении музеев?
11. My mother had forgotten (buy) _______ sugar.
    Правильный ответ: to buy.
    Перевод: Моя мама забыла купить сахар.
12. So she made me (go) _____ back to the supermarket.
    Правильный ответ: go.
    Перевод: Поэтому она заставила меня вернуться в супермаркет.
13. Have you finished (paint) the room yet?
    Правильный ответ: painting.
    Перевод: Вы уже закончили красить комнату?
14. No, I haven't.
    Перевод: Нет, я не закончил.
15. I hope (see) _______ you again soon.
    Правильный ответ: to see.
    Перевод: Я надеюсь увидеть вас снова скоро.
16. May I (help) ______ you?
    Правильный ответ: help.
    Перевод: Могу я вам помочь?
17. Yes, you can start (clean) the kitchen.
    Правильный ответ: cleaning.
    Перевод: Да, вы можете начать убирать кухню.
18. We agreed (cook) ______ a typical English meal for our guests.
    Правильный ответ: to cook.
    Перевод: Мы согласились приготовить типичное английское блюдо для наших гостей.
19. He dislikes (dance) ________.
    Правильный ответ: dancing.
    Перевод: Ему не нравится танцевать.
20. Is (eat) _______ ice-cream allowed on this bus?
    Правильный ответ: eating.
    Перевод: Разрешено ли есть мороженое в этом автобусе?
21. Don't let him (drive) __________ the car.
    Правильный ответ: drive.
    Перевод: Не позволяйте ему водить машину.

Надеюсь, это поможет вам понять, как использовать инфинитив и герундий в предложениях. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!