Давайте разберем каждое предложение и выберем правильный вариант. Я объясню, почему именно этот вариант подходит лучше всего.

1. I promise, I would / will feed your dog for a month.

   В данном случае правильный вариант - will. Мы используем "will" для выражения обещания или намерения сделать что-то в будущем.

2. Could/Would I speak to Mrs Smith, please?

   Здесь правильный вариант - Could. "Could" используется для вежливых просьб, в то время как "would" более формально и менее распространено в таких контекстах.

3. It's raining heavily. Would / Shall we go or wait for a while?

   Правильный выбор - Shall. "Shall" часто используется для предложений и вопросов в первом лице, когда мы хотим предложить что-то.

4. Could / May you lend me some money, please?

   В этом случае правильный выбор - Could. Хотя "may" тоже вежливо, "could" звучит более естественно для просьбы.

5. They may/would go on a bus trip to Lviv next month.

   Здесь правильный вариант - may. "May" используется для выражения возможности, в то время как "would" подразумевает более определенное намерение.

6. Jane is not sure she'll finish her work in time, so she couldn't / mightn't go for a walk with us.

   Правильный вариант - mightn't. "Mightn't" указывает на возможность того, что она не сможет пойти на прогулку, учитывая ее неопределенность в отношении выполнения работы.

Итак, итоговый ответ выглядит так:

• 1. will
• 2. Could
• 3. Shall
• 4. Could
• 5. may
• 6. mightn't