Дано дифференциальное уравнение: y'+2y=4x.Решите это уравнение.

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение решение уравнения математика колледж y'+2y=4x методы решения дифференциальных уравнений Новый

Для решения данного дифференциального уравнения мы будем использовать метод интегрирующего множителя. Уравнение имеет вид:

y' + 2y = 4x

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель определяется по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx)

где P(x) — это коэффициент при y в уравнении. В нашем случае P(x) = 2.

Теперь вычислим интеграл:

∫2dx = 2x

Следовательно, интегрирующий множитель будет:

μ(x) = e^(2x)

Шаг 2: Умножим все уравнение на интегрирующий множитель.

Теперь умножим обе стороны уравнения на e^(2x):

e^(2x)y' + 2e^(2x)y = 4xe^(2x)

Шаг 3: Преобразуем левую часть уравнения.

Левая часть уравнения является производной произведения:

(e^(2x)y)' = 4xe^(2x)

Шаг 4: Интегрируем обе стороны уравнения.

1. Интегрируем левую часть:

∫(e^(2x)y)'dx = e^(2x)y + C

2. Интегрируем правую часть:

Для интегрирования правой части воспользуемся методом интегрирования по частям. Пусть:

• u = 4x, тогда du = 4dx;
• dv = e^(2x)dx, тогда v = (1/2)e^(2x).

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫udv = uv - ∫vdu

Таким образом, получаем:

∫4xe^(2x)dx = 4x*(1/2)e^(2x) - ∫(1/2)e^(2x)*4dx

= 2xe^(2x) - 2∫e^(2x)dx

= 2xe^(2x) - e^(2x) + C

Шаг 5: Подставляем результаты интегрирования.

Теперь мы можем записать общее решение:

e^(2x)y = 2xe^(2x) - e^(2x) + C

Шаг 6: Решаем для y.

Разделим обе стороны на e^(2x):

y = 2x - 1 + Ce^(-2x)

где C — произвольная константа.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

y = 2x - 1 + Ce^(-2x)

1 2 3 4 5