Двукратный (повторный) интеграл.

Другие предметы Колледж Двукратные интегралы двукратный интеграл повторный интеграл математический анализ колледж интегралы в математике двойные интегралы вычисление интегралов основы интегрального исчисления Новый

Двукратный (или повторный) интеграл – это обобщение понятия интеграла на двумерные области. Он позволяет находить объем под поверхностью, заданной функцией двух переменных. Давайте разберем, как его вычислять.

Предположим, у нас есть функция f(x, y), определенная на прямоугольной области R = [a, b] × [c, d]. Двукратный интеграл функции f по области R записывается как:

∬_R f(x, y) dA

где dA – элемент площади, который в прямоугольной системе координат равен dx * dy.

Чтобы вычислить двукратный интеграл, мы используем следующий алгоритм:

1. Определение области интегрирования: Убедитесь, что вы знаете границы интегрирования для x и y. Например, для области R = [a, b] × [c, d] границы будут: a ≤ x ≤ b и c ≤ y ≤ d.
2. Запись интеграла: Запишите двукратный интеграл в виде двух последовательных интегралов:
• ∫ от c до d (∫ от a до b f(x, y) dx) dy
• или ∫ от a до b (∫ от c до d f(x, y) dy) dx
3. Вычисление внутреннего интеграла: Сначала вычисляем внутренний интеграл, который зависит от одной переменной, оставляя другую переменную постоянной.
4. Вычисление внешнего интеграла: После нахождения внутреннего интеграла, вычисляем внешний интеграл по оставшейся переменной.

Рассмотрим пример:

Пусть f(x, y) = x + y, и мы хотим вычислить двукратный интеграл по области R = [0, 1] × [0, 1].

1. Запишем интеграл:

∬_R (x + y) dA = ∫ от 0 до 1 (∫ от 0 до 1 (x + y) dx) dy

2. Сначала вычислим внутренний интеграл:

∫ от 0 до 1 (x + y) dx = [x^2/2 + yx] от 0 до 1 = (1/2 + y) - (0 + 0) = 1/2 + y

3. Теперь вычислим внешний интеграл:

∫ от 0 до 1 (1/2 + y) dy = [y/2 + y^2/2] от 0 до 1 = (1/2 + 1/2) - (0 + 0) = 1

Таким образом, двукратный интеграл функции f(x, y) = x + y по области R = [0, 1] × [0, 1] равен 1.

Это основные шаги для вычисления двукратного интеграла. Если у вас есть вопросы или вам нужно больше примеров, не стесняйтесь спрашивать!