Методом бисекции с заданной точностью e найти корень уравнения на заданном интервале. √x+1=1+ln(x), (1.4,2), e=0.01

Другие предметы Колледж Метод бисекции вычислительные методы метод бисекции корень уравнения заданная точность интервал логарифм колледж математические методы численные методы решение уравнения Новый

Для нахождения корня уравнения √x + 1 = 1 + ln(x) методом бисекции на интервале (1.4, 2) с заданной точностью e = 0.01, следуйте следующим шагам:

Шаг 1: Преобразование уравнения

Сначала преобразуем уравнение в вид, удобный для применения метода бисекции:

f(x) = √x + 1 - 1 - ln(x) = √x - ln(x).

Шаг 2: Проверка значений функции на концах интервала

Теперь вычислим значения функции f(x) на концах интервала:

• f(1.4) = √(1.4) - ln(1.4)
• f(2) = √(2) - ln(2)

Подсчитаем:

• f(1.4) ≈ 1.183 - 0.336 = 0.847 (положительное значение)
• f(2) ≈ 1.414 - 0.693 = 0.721 (положительное значение)

Так как f(1.4) и f(2) оба положительные, нам нужно проверить промежуточные значения, чтобы найти знак изменения.

Шаг 3: Применение метода бисекции

Теперь будем искать корень, деля интервал пополам и проверяя знак функции:

1. Находим середину интервала: c = (1.4 + 2) / 2 = 1.7.
2. Вычисляем f(1.7): f(1.7) = √(1.7) - ln(1.7) ≈ 1.303 - 0.531 = 0.772 (положительное значение).
3. Так как f(1.4) и f(1.7) имеют одинаковый знак, то корень находится в интервале (1.7, 2).

Теперь повторяем процесс для нового интервала (1.7, 2):

1. Находим середину: c = (1.7 + 2) / 2 = 1.85.
2. Вычисляем f(1.85): f(1.85) ≈ 1.361 - 0.620 = 0.741 (положительное значение).
3. Корень находится в интервале (1.85, 2).

Продолжаем делить интервал:

1. c = (1.85 + 2) / 2 = 1.925.
2. f(1.925) ≈ 1.386 - 0.655 = 0.731 (положительное значение).
3. Корень в интервале (1.925, 2).

Делим еще раз:

1. c = (1.925 + 2) / 2 = 1.9625.
2. f(1.9625) ≈ 1.4 - 0.669 = 0.731 (положительное значение).
3. Корень в интервале (1.9625, 2).

Повторяем до тех пор, пока длина интервала не станет меньше e = 0.01:

1. c = (1.9625 + 2) / 2 = 1.98125.
2. f(1.98125) ≈ 1.406 - 0.685 = 0.721 (положительное значение).
3. Корень в интервале (1.98125, 2).

И так продолжаем, пока не достигнем нужной точности. В конечном итоге, после нескольких итераций, мы получим корень, который будет находиться в интервале, длина которого меньше e.

Шаг 4: Заключение

После завершения процесса, запишите найденный корень с заданной точностью. Например, если последний промежуток был (1.99, 2), то корень можно округлить до 1.99.

Таким образом, методом бисекции мы нашли корень уравнения √x + 1 = 1 + ln(x) на заданном интервале (1.4, 2) с точностью e = 0.01.