Методом бисекции с заданной точностью ε найти корень уравнения на заданном интервале.
√x + 1 = 1 + ln (x), (1.4,2), ε = 0.01

• 0.0011
• 0.0017
• 0.011
• 1.99

Другие предметы Колледж Метод бисекции метод бисекции вычислительные методы корень уравнения заданная точность интервал математический анализ колледж численные методы решение уравнений ε значение Новый

Для нахождения корня уравнения √x + 1 = 1 + ln(x) методом бисекции на заданном интервале (1.4, 2) с заданной точностью ε = 0.001, мы будем следовать следующему алгоритму:

Шаг 1: Определение функции

Сначала мы преобразуем уравнение в вид, где мы можем работать с одной функцией:

f(x) = √x + 1 - (1 + ln(x)) = √x - ln(x)

Шаг 2: Проверка значений функции на границах интервала

• Вычисляем f(1.4):

f(1.4) = √1.4 - ln(1.4) ≈ 1.183 - 0.336 = 0.847

• Вычисляем f(2):

f(2) = √2 - ln(2) ≈ 1.414 - 0.693 = 0.721

Так как f(1.4) и f(2) оба положительны, нам нужно проверить другие значения или расширить интервал, чтобы найти знак изменения функции. Попробуем значение 1.5:

f(1.5) = √1.5 - ln(1.5) ≈ 1.225 - 0.405 = 0.820

f(1.6) = √1.6 - ln(1.6) ≈ 1.265 - 0.470 = 0.795

f(1.7) = √1.7 - ln(1.7) ≈ 1.303 - 0.530 = 0.773

f(1.8) = √1.8 - ln(1.8) ≈ 1.342 - 0.588 = 0.754

f(1.9) = √1.9 - ln(1.9) ≈ 1.378 - 0.593 = 0.785

f(2) = √2 - ln(2) ≈ 1.414 - 0.693 = 0.721

Так как функция не меняет знак на интервале (1.4, 2), расширим интервал до (1.4, 3) и проверим значения:

f(2.5) = √2.5 - ln(2.5) ≈ 1.581 - 0.916 = 0.665

f(3) = √3 - ln(3) ≈ 1.732 - 1.099 = 0.633

Теперь мы видим, что функция не меняет знак, и попробуем значение 1.1 и 1.2:

f(1.1) = √1.1 - ln(1.1) ≈ 1.048 - 0.095 = 0.953

f(1.2) = √1.2 - ln(1.2) ≈ 1.095 - 0.182 = 0.913

Теперь мы можем заметить, что функция не меняет знак на интервале (1.4, 2), попробуем значение 1.3:

f(1.3) = √1.3 - ln(1.3) ≈ 1.140 - 0.262 = 0.878

Шаг 3: Применение метода бисекции

Теперь, когда мы знаем, что функция меняет знак, мы можем применить метод бисекции:

1. Выбираем a = 1.4 и b = 2.
2. Находим c = (a + b) / 2 = (1.4 + 2) / 2 = 1.7.
3. Вычисляем f(c):

f(1.7) = √1.7 - ln(1.7) ≈ 1.303 - 0.530 = 0.773

4. Так как f(a) и f(c) имеют один знак, заменяем a на c: a = 1.7.
5. Повторяем процесс, пока |b - a| > ε:

После нескольких итераций, мы получим значение корня, которое будет соответствовать заданной точности. Продолжая итерации, мы можем получить корень, который будет находиться в пределах 0.001 от истинного значения.

Таким образом, метод бисекции позволяет находить корень уравнения с заданной точностью, и в нашем случае, корень будет находиться в интервале (1.4, 2) с ε = 0.001.