Методом бисекции с заданной точностью ε найти корень уравнения на заданном интервале.
x3 – x2 – 5 = 0, (0,3), ε = 0.01

• 0.0011
• 0.0017
• 0.011
• 2.16

Другие предметы Колледж Методы численного решения уравнений метод бисекции вычислительные методы корень уравнения заданная точность интервал ε x3 – x2 – 5 = 0 колледж Новый

Для решения уравнения x³ - x² - 5 = 0 методом бисекции на заданном интервале (0, 3) с заданной точностью ε = 0.01, мы будем следовать следующим шагам:

1. Определение функции: Сначала определим функцию, которую мы будем исследовать:
• f(x) = x³ - x² - 5
2. Проверка наличия корня в интервале: Нам нужно убедиться, что функция имеет разные знаки на концах интервала. Вычислим значения функции в точках a = 0 и b = 3:
• f(0) = 0³ - 0² - 5 = -5
• f(3) = 3³ - 3² - 5 = 27 - 9 - 5 = 13

Поскольку f(0) < 0 и f(3) > 0, мы можем утверждать, что в интервале (0, 3) существует корень.

3. Итерационный процесс: Теперь мы будем применять метод бисекции. Сначала находим середину интервала:
• c = (a + b) / 2
4. Проверка знака функции в середине: Определяем значение функции в точке c:
• f(c)
5. Обновление интервала: Если f(a) * f(c) < 0, то корень находится в интервале [a, c]. В противном случае, если f(c) * f(b) < 0, корень находится в интервале [c, b]. Обновляем значения a и b соответственно.
6. Проверка условия остановки: Продолжаем процесс, пока |b - a| > ε.

Теперь проведем вычисления шаг за шагом:

1. Изначально a = 0, b = 3, ε = 0.01.
2. Первое вычисление:
• c = (0 + 3) / 2 = 1.5
• f(1.5) = 1.5³ - 1.5² - 5 = 3.375 - 2.25 - 5 = -3.875 (отрицательное)
• Так как f(0) < 0 и f(1.5) < 0, обновляем a = 1.5.
3. Второе вычисление:
• c = (1.5 + 3) / 2 = 2.25
• f(2.25) = 2.25³ - 2.25² - 5 = 11.390625 - 5.0625 - 5 = 1.328125 (положительное)
• Так как f(1.5) < 0 и f(2.25) > 0, обновляем b = 2.25.
4. Третье вычисление:
• c = (1.5 + 2.25) / 2 = 1.875
• f(1.875) = 1.875³ - 1.875² - 5 = 6.591796875 - 3.515625 - 5 = -1.923828125 (отрицательное)
• Обновляем a = 1.875.
5. Четвертое вычисление:
• c = (1.875 + 2.25) / 2 = 2.0625
• f(2.0625) = 2.0625³ - 2.0625² - 5 = 8.6484375 - 4.25390625 - 5 = -0.60546875 (отрицательное)
• Обновляем a = 2.0625.
6. Пятое вычисление:
• c = (2.0625 + 2.25) / 2 = 2.15625
• f(2.15625) = 2.15625³ - 2.15625² - 5 = 10.075246 - 4.658203125 - 5 = 0.417042875 (положительное)
• Обновляем b = 2.15625.
7. Шестое вычисление:
• c = (2.0625 + 2.15625) / 2 = 2.109375
• f(2.109375) = 2.109375³ - 2.109375² - 5 = 9.308153 - 4.444140625 - 5 = -0.135987625 (отрицательное)
• Обновляем a = 2.109375.
8. Седьмое вычисление:
• c = (2.109375 + 2.15625) / 2 = 2.1328125
• f(2.1328125) = 2.1328125³ - 2.1328125² - 5 = 9.072924 - 4.5458984375 - 5 = -0.4729734375 (отрицательное)
• Обновляем a = 2.1328125.
9. Восьмое вычисление:
• c = (2.1328125 + 2.15625) / 2 = 2.14453125
• f(2.14453125) = 9.146698 - 4.6044921875 - 5 = -0.4587931875 (отрицательное)
• Обновляем a = 2.14453125.
10. Девятое вычисление:
• c = (2.14453125 + 2.15625) / 2 = 2.150390625
• f(2.150390625) = 9.162597 - 4.63623046875 - 5 = -0.473633 (отрицательное)
• Обновляем a = 2.150390625.
11. Десятое вычисление:
• c = (2.150390625 + 2.15625) / 2 = 2.1533203125
• f(2.1533203125) = 9.167053 - 4.6455078125 - 5 = -0.478454 (отрицательное)
• Обновляем a = 2.1533203125.
12. Одиннадцатое вычисление:
• c = (2.1533203125 + 2.15625) / 2 = 2.15478515625
• f(2.15478515625) = 9.168274 - 4.649169921875 - 5 = -0.480895 (отрицательное)
• Обновляем a = 2.15478515625.
13. Двенадцатое вычисление:
• c = (2.15478515625 + 2.15625) / 2 = 2.155517578125
• f(2.155517578125) = 9.168884 - 4.651184 - 5 = -0.482300 (отрицательное)
• Обновляем a = 2.155517578125.
14. Тринадцатое вычисление:
• c = (2.155517578125 + 2.15625) / 2 = 2.1558837890625
• f(2.1558837890625) = 9.169188 - 4.652099 - 5 = -0.482800 (отрицательное)
• Обновляем a = 2.1558837890625.
15. Четырнадцатое вычисление:
• c = (2.1558837890625 + 2.15625) / 2 = 2.15606689453125
• f(2.15606689453125) = 9.169290 - 4.652588 - 5 = -0.483000 (отрицательное)
• Обновляем a = 2.15606689453125.
16. Пятнадцатое вычисление:
• c = (2.15606689453125 + 2.15625) / 2 = 2.156158447265625
• f(2.156158447265625) = 9.169350 - 4.652786 - 5 = -0.483100 (отрицательное)
• Обновляем a = 2.156158447265625.

Мы продолжаем этот процесс, пока |b - a| не станет меньше ε. В конечном итоге, мы получим приближенное значение корня уравнения.

Таким образом, после нескольких итераций мы находим корень уравнения, который соответствует заданной точности ε = 0.01. В результате, корень уравнения x³ - x² - 5 = 0 на интервале (0, 3) приблизительно равен 2.15625.