Моменты инерции простейших фигур (вывод формул для круга, прямоугольника, треугольника).

Другие предметы Колледж Моменты инерции моменты инерции простейшие фигуры вывод формул круг прямоугольник треугольник сопротивление материалов колледж Новый

Момент инерции - это мера инерции тела относительно оси вращения. Он зависит от распределения массы тела относительно этой оси. Давайте рассмотрим, как выводятся формулы для моментов инерции простейших фигур: круга, прямоугольника и треугольника.

1. Момент инерции круга

Рассмотрим круг радиуса R. Мы будем выводить момент инерции относительно оси, проходящей через центр круга и перпендикулярной к его плоскости.

1. Разобьем круг на бесконечно малые кольца. Каждое кольцо имеет радиус r и толщину dr.
2. Площадь кольца равна dS = 2πr * dr.
3. Масса кольца dM = ρ * dS, где ρ - плотность материала (масса на единицу площади).
4. Момент инерции кольца относительно оси I = r² * dM = r² * ρ * 2πr * dr = 2πρr³ * dr.
5. Теперь интегрируем от 0 до R: I = ∫(0 до R) 2πρr³ dr.
6. После интегрирования получаем I = (πρ/2) * R^4.

Если заменить ρ на M/S (где M - масса круга, S - площадь круга), то получаем формулу для момента инерции круга:

I = (1/4) * M * R².

2. Момент инерции прямоугольника

Рассмотрим прямоугольник с шириной b и высотой h. Мы будем выводить момент инерции относительно оси, проходящей через центр прямоугольника и перпендикулярной к его плоскости.

1. Разобьем прямоугольник на бесконечно малые прямоугольные элементы dA с шириной dx и высотой dy.
2. Масса элемента dM = ρ * dA = ρ * dx * dy.
3. Момент инерции элемента относительно оси I = (x² + y²) * dM.
4. Интегрируем по всему прямоугольнику: I = ∫∫(x² + y²) * ρ * dx * dy.
5. После интегрирования получаем: I = (1/12) * M * (b² + h²).

Таким образом, момент инерции прямоугольника относительно оси, проходящей через его центр:

I = (1/12) * M * (b² + h²).

3. Момент инерции треугольника

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием b и высотой h. Мы будем выводить момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести треугольника и перпендикулярной к его плоскости.

1. Разобьем треугольник на бесконечно малые горизонтальные полосы высоты dy.
2. Ширина полосы на высоте y равна b * (1 - y/h), где b - основание треугольника.
3. Площадь полосы dA = b * (1 - y/h) * dy.
4. Масса полосы dM = ρ * dA = ρ * b * (1 - y/h) * dy.
5. Момент инерции полосы относительно оси I = (y - h/3)² * dM.
6. Интегрируем от 0 до h: I = ∫(0 до h) (y - h/3)² * ρ * b * (1 - y/h) * dy.
7. После интегрирования получаем: I = (1/36) * M * b².

Таким образом, момент инерции равнобедренного треугольника относительно оси, проходящей через его центр тяжести:

I = (1/36) * M * b².

Теперь у вас есть формулы для моментов инерции круга, прямоугольника и треугольника, а также понимание процесса их вывода.