Найти коэффициент при x³y⁶z¹² в разложении (3x+2y²+4z³)¹⁰.

Другие предметы Колледж Комбинаторика и многочлены дискретная математика колледж коэффициент разложение биномиальная теорема комбинаторика задачи математические выражения алгебра полиномы Новый

Для нахождения коэффициента при x³y⁶z¹² в разложении (3x + 2y² + 4z³)¹⁰ мы будем использовать теорему о многочленах и формулу бинома Ньютона.

Рассмотрим выражение (3x + 2y² + 4z³)¹⁰. Здесь у нас три термина: 3x, 2y² и 4z³. Мы хотим узнать, как можно выбрать эти термины так, чтобы в конечном итоге получить x³y⁶z¹².

Для этого нам нужно определить, сколько раз мы будем брать каждый из терминов:

• Пусть k₁ - количество раз, когда мы берем 3x.
• Пусть k₂ - количество раз, когда мы берем 2y².
• Пусть k₃ - количество раз, когда мы берем 4z³.

Мы знаем, что сумма всех этих выборов должна быть равна 10:

k₁ + k₂ + k₃ = 10

Теперь мы можем выразить степени переменных через количество выбранных терминов:

• 3x: k₁ раз дает x^k₁, и нам нужно, чтобы k₁ = 3.
• 2y²: k₂ раз дает y^2k₂, и нам нужно, чтобы 2k₂ = 6, то есть k₂ = 3.
• 4z³: k₃ раз дает z^3k₃, и нам нужно, чтобы 3k₃ = 12, то есть k₃ = 4.

Теперь у нас есть система уравнений:

k₁ = 3
k₂ = 3
k₃ = 4
k₁ + k₂ + k₃ = 10

Эта система уравнений удовлетворяет всем условиям.

Теперь мы можем найти коэффициент. Для этого используем формулу для нахождения коэффициента в разложении:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Коэффициент будет равен:

C(10, k₁, k₂, k₃) (3^k₁) (2^k₂) * (4^k₃)

Теперь подставим значения:

• C(10, 3, 3, 4) = 10! / (3! * 3! * 4!)
• 3³ = 27
• 2³ = 8
• 4⁴ = 256

Теперь найдем C(10, 3, 3, 4):

C(10, 3, 3, 4) = 10! / (3! 3! 4!) = 2100

Теперь подставим все в формулу:

Коэффициент = 2100 27 8 * 256

Теперь вычислим:

• 2100 * 27 = 56700
• 56700 * 8 = 453600
• 453600 * 256 = 116121600

Таким образом, коэффициент при x³y⁶z¹² в разложении (3x + 2y² + 4z³)¹⁰ равен 116121600.