Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения ƒ(x) = 0. x3 – x + 7 = 0

Другие предметы Колледж Метод Ньютона метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность 0.01 ƒ(x) = 0 x3 – x + 7 = 0 колледж математические методы Новый

Метод Ньютона — это итерационный метод для нахождения корней уравнений. Мы будем использовать его для нахождения корня уравнения f(x) = x³ - x + 7 = 0. Чтобы применить метод Ньютона, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: Для начала нам нужно найти производную функции f(x).
2. Выбрать начальное приближение: Необходимо выбрать начальное значение x0, с которого начнем итерации.
3. Применить формулу Ньютона: Используем формулу для нахождения следующего приближения.
4. Проверить условие остановки: Продолжаем итерации, пока разница между последовательными приближениями не станет меньше заданной погрешности.

Теперь давайте подробно рассмотрим каждый шаг:

1. Найдем производную функции:

   f(x) = x³ - x + 7

   f'(x) = 3x² - 1

2. Выберем начальное приближение:

   Посмотрим на график функции или подберем значение, при котором f(x) близка к нулю. Например, попробуем x0 = -2.

3. Применим формулу Ньютона:

   Формула Ньютона выглядит так:

   x(n+1) = x(n) - f(x(n)) / f'(x(n))

   Теперь подставим выбранное значение x0:

   • f(-2) = (-2)³ - (-2) + 7 = -8 + 2 + 7 = 1
   • f'(-2) = 3(-2)² - 1 = 3*4 - 1 = 12 - 1 = 11
   • Теперь подставим в формулу Ньютона:
   • x1 = -2 - 1 / 11 ≈ -2.0909
4. Проверим условие остановки:

   Теперь продолжаем итерации:

   • f(-2.0909) ≈ -0.077
   • f'(-2.0909) ≈ 12.5
   • x2 = -2.0909 - (-0.077) / 12.5 ≈ -2.0909 + 0.00616 ≈ -2.0847

   Продолжаем итерации, пока |x(n+1) - x(n)| > 0.01:

   • x3 = -2.0847 - f(-2.0847) / f'(-2.0847) ≈ -2.0847 + 0.0006 ≈ -2.0841
   • И так далее, пока разница между x(n+1) и x(n) не станет меньше 0.01.

В результате, после нескольких итераций, мы получим значение корня уравнения с погрешностью, не превышающей 0.01. Например, в конце мы можем получить, что корень равен примерно -2.08.

Таким образом, мы успешно применили метод Ньютона для нахождения корня уравнения x³ - x + 7 = 0 с заданной погрешностью.