Почему в преобразовании на плоскости участвуют две координаты, а матрица 3x3?

Другие предметы Колледж Преобразования в компьютерной графике компьютерная графика преобразование на плоскости матрица 3x3 координаты колледж графические преобразования 2D графика линейная алгебра матричные операции учебное заведение Новый

Вопрос о том, почему в преобразовании на плоскости участвуют две координаты, а матрица имеет размерность 3x3, связан с тем, как мы представляем точки и преобразования в двумерном пространстве.

В двумерной системе координат каждая точка представляется двумя координатами: x и y. Однако для удобства работы с преобразованиями, такими как вращение, масштабирование и перенос, мы используем однородные координаты.

Что такое однородные координаты?

Однородные координаты позволяют представлять точки в пространстве с помощью трех координат вместо двух. Для двумерной точки (x, y) мы можем добавить третью координату, равную 1. Таким образом, точка в однородных координатах будет представлена как (x, y, 1).

Зачем нужна третья координата?

• Третья координата позволяет легко выполнять преобразования с помощью матричного умножения.
• Это упрощает работу с трансформациями, такими как перенос, масштабирование и вращение, в одном общем виде.

Как это работает?

Преобразования на плоскости могут быть представлены с помощью матриц. Для двумерных преобразований мы используем 3x3 матрицы. Например:

1. Для переноса точки (x, y) на (dx, dy) матрица будет выглядеть так:
2. Для масштабирования: если мы хотим увеличить размеры в k раз, то матрица будет:
3. Для вращения: если мы хотим повернуть на угол θ, то матрица будет:

Каждое из этих преобразований можно записать в виде 3x3 матрицы, где третья строка и столбец позволяют учитывать однородные координаты.

Таким образом, использование 3x3 матриц для двумерных преобразований позволяет нам работать с более сложными преобразованиями и упрощает расчеты, так как все они могут быть представлены в едином формате.

В заключение, две координаты отвечают за положение точки на плоскости, а третья координата в однородных координатах позволяет использовать матричные преобразования для упрощения работы с различными трансформациями.