Понятие обратной матрицы, доказательство ее единственности, существования и равенства (А^-1)т=(Ат)^-1

Другие предметы Колледж Обратные матрицы обратная матрица доказательство единственности существование обратной матрицы равенство матриц линейная алгебра аналитическая геометрия колледж Новый

Обратная матрица – это такая матрица, которая при умножении на данную матрицу дает единичную матрицу. Если у нас есть квадратная матрица A, то ее обратная матрица обозначается A^-1 и удовлетворяет следующему условию:

A * A^-1 = I, где I – единичная матрица.

Теперь давайте рассмотрим три основных аспекта: существование обратной матрицы, ее единственность и равенство (A^-1)т = (Aт)^-1.

1. Существование обратной матрицы

Обратная матрица существует, если матрица A является невырожденной. Это означает, что определитель матрицы A не равен нулю:

• det(A) ≠ 0 – матрица A имеет обратную матрицу.
• Если det(A) = 0, то матрица A вырождена и обратной матрицы не существует.

2. Единственность обратной матрицы

Предположим, что матрица A имеет две обратные матрицы, обозначим их B и C. Тогда мы имеем:

A * B = I и A * C = I.

Теперь умножим обе стороны первого уравнения на C слева:

C * (A * B) = C * I.

Согласно ассоциативности умножения матриц, мы можем переписать это как:

(C * A) * B = C.

Но так как A * C = I, то C * A = I (по свойству обратных матриц). Подставив это в предыдущее уравнение, получаем:

I * B = C, что означает B = C.

Таким образом, мы доказали, что обратная матрица единственна.

3. Равенство (A^-1)т = (Aт)^-1

Теперь докажем, что транспонированная обратная матрица равна обратной транспонированной матрицы. Для этого начнем с определения:

Пусть A – квадратная невырожденная матрица. Тогда:

A * A^-1 = I.

Теперь транспонируем обе стороны этого уравнения:

(A * A^-1)т = Iт.

Согласно свойству транспонирования, мы имеем:

(A^-1)т * At = I.

Это означает, что (A^-1)т является обратной к At, что и доказывает равенство:

(A^-1)т = (At)^-1.

Таким образом, мы рассмотрели основные аспекты обратной матрицы: ее существование, единственность и связь между транспонированием и обратной матрицей.