Термины "сходится" и "расходится" часто используются в математике, особенно в контексте последовательностей и рядов. Давайте разберем, что они означают и как их можно определить.

Сходимость последовательностей:

• Последовательность называется сходящейся, если существует предел этой последовательности. То есть, если при увеличении номера элемента последовательности (n) значения элементов стремятся к какому-то числу (L).
• Формально, мы говорим, что последовательность a_n сходится к L, если для любого положительного числа ε (эпсилон) существует такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется |a_n - L| < ε.

Пример: Рассмотрим последовательность a_n = 1/n. Мы можем увидеть, что при n, стремящемся к бесконечности, a_n стремится к 0. То есть, эта последовательность сходится к 0.

Сходимость рядов:

• Ряд - это сумма членов последовательности. Ряд называется сходящимся, если сумма его членов стремится к какому-то числу при увеличении количества членов ряда.
• Для ряда a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n, он сходится, если существует предел S, такой что сумма первых n членов (S_n) стремится к S при n, стремящемся к бесконечности.

Пример: Рассмотрим ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/(2^n). Этот ряд сходится к 1, так как сумма его членов стремится к 1 при n, стремящемся к бесконечности.

Расходимость:

• Если последовательность или ряд не сходится, то они называются расходящимися. То есть, значения не имеют предела или сумма членов не стремится к какому-то числу.

Пример: Рассмотрим последовательность b_n = n. При n, стремящемся к бесконечности, b_n также стремится к бесконечности, и, следовательно, эта последовательность расходится.

Таким образом, сходимость и расходимость - это важные концепции в математике, которые помогают нам понять поведение последовательностей и рядов.