Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге при имеет решение

Другие предметы Колледж Уравнения в частных производных внутренняя задача Дирихле уравнение Лапласа круг решение задачи математический анализ колледж математика Новый

Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: необходимо найти функцию, которая удовлетворяет уравнению Лапласа и заданным условиям на границе круга.

Рассмотрим круг радиуса R, центрированный в начале координат. Уравнение Лапласа имеет вид:

Δu = 0,

где Δ - оператор Лапласа. Для круга это уравнение в полярных координатах можно записать как:

∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0.

Условия задачи Дирихле заключаются в том, что на границе круга (r = R) функция u должна принимать заданные значения:

u(R, θ) = f(θ),

где f(θ) - заданная функция, определенная на границе.

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться методом разложения в ряд Фурье. Основные шаги решения следующие:

1. Запись общего решения уравнения Лапласа: Общее решение уравнения Лапласа в круге можно представить в виде ряда Фурье:
• u(r, θ) = a₀/2 + Σ (aₙ * rⁿ * cos(nθ) + bₙ * rⁿ * sin(nθ)), n=1,2,...
2. Подстановка граничных условий: Подставим граничные условия в общее решение:
• u(R, θ) = a₀/2 + Σ (aₙ * Rⁿ * cos(nθ) + bₙ * Rⁿ * sin(nθ)) = f(θ).
3. Определение коэффициентов: Для нахождения коэффициентов aₙ и bₙ воспользуемся формулами для коэффициентов ряда Фурье:
• aₙ = (1/π) ∫₀²π f(θ) cos(nθ) dθ,
• bₙ = (1/π) ∫₀²π f(θ) sin(nθ) dθ.
4. Сборка окончательного решения: Подставляем найденные коэффициенты обратно в общее решение:
• Получаем u(r, θ) в виде конечного ряда, который будет решением нашей задачи.

Таким образом, внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет решение, если функция f(θ) удовлетворяет условиям, необходимым для разложения в ряд Фурье. Это решение будет представлять собой гармоническую функцию, которая удовлетворяет заданным граничным условиям на границе круга.