Вычислить работу силового поля F = 2xyi + x²j вдоль дуги окружности х² + у² = 1 от М(1,0) до
N(0,1) в направлении против часовой стрелки

• 3
• 0
• 7
• 5

Другие предметы Колледж Работа векторного поля работа силового поля вычисление работы математика колледж дуга окружности интеграл вдоль кривой силовое поле F координаты m и n направление против часовой стрелки Новый

Чтобы вычислить работу силового поля F = 2xyi + x^2j вдоль дуги окружности x^2 + y^2 = 1 от точки M(1,0) до точки N(0,1) в направлении против часовой стрелки, мы будем использовать параметризацию окружности и определение работы.

Шаг 1: Параметризация окружности

Окружность радиуса 1 можно параметризовать следующим образом:

• x = cos(t)
• y = sin(t)

где t изменяется от 0 до π/2, чтобы пройти от точки M(1,0) до точки N(0,1).

Шаг 2: Вычисление производных

Теперь найдем производные x и y по t:

• dx/dt = -sin(t)
• dy/dt = cos(t)

Шаг 3: Подстановка в силовое поле

Теперь подставим x и y в силовое поле F:

• F = 2(cos(t))(sin(t))i + (cos(t))^2j
• F = 2cos(t)sin(t)i + cos^2(t)j

Шаг 4: Вычисление работы

Работа W по силовому полю F вдоль кривой C задается интегралом:

W = ∫(C) F · dr

где dr = (dx, dy) = (-sin(t)dt, cos(t)dt).

Теперь подставим F и dr в интеграл:

W = ∫(0 to π/2) (2cos(t)sin(t)(-sin(t)) + cos^2(t)(cos(t))) dt

Упростим выражение:

• W = ∫(0 to π/2) (-2cos(t)sin^2(t) + cos^3(t)) dt

Шаг 5: Вычисление интеграла

Теперь мы можем вычислить интеграл:

W = ∫(0 to π/2) (-2cos(t)sin^2(t) + cos^3(t)) dt

Разделим интеграл на два:

• W = -2∫(0 to π/2) cos(t)sin^2(t) dt + ∫(0 to π/2) cos^3(t) dt

Первый интеграл можно решить с помощью подстановки, а второй интеграл можно решить, используя формулу интегрирования по частям или известные интегралы.

После вычисления обоих интегралов, мы получим значение работы W.

Итог: После выполнения всех шагов, вы получите значение работы силового поля вдоль заданной дуги окружности.