Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.

Другие предметы Университет Теорема о пределах и правила вычисления пределов теорема Бернулли-Лопиталя предел отношения функций бесконечно малые функции математический анализ университетская математика Новый

Теорема Бернулли-Лопиталя позволяет находить пределы выражений, которые принимают неопределенные формы, такие как 0/0 или ∞/∞. В данном случае мы будем рассматривать случай, когда обе функции стремятся к нулю. Давайте подробно рассмотрим шаги доказательства этой теоремы.

Условия применения теоремы:

• Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки a (кроме, возможно, самой точки a).
• Допустим, что f(a) = 0 и g(a) = 0 (или обе функции стремятся к бесконечности).
• Допустим, что производные f'(x) и g'(x) существуют в окрестности точки a, кроме, возможно, самой точки a.
• g'(x) не равна нулю в окрестности точки a.

Доказательство:

1. По определению предела мы знаем, что если x стремится к a, то f(x) и g(x) стремятся к 0. Это означает, что мы имеем неопределенность вида 0/0.
2. Согласно теореме Лопиталя, если предел отношения производных f'(x) и g'(x) существует, то:
3. lim (x → a) (f(x)/g(x)) = lim (x → a) (f'(x)/g'(x))
4. Теперь мы можем рассмотреть предел отношения производных. Если этот предел существует и равен L, то:
5. lim (x → a) (f(x)/g(x)) = L
6. Таким образом, мы доказали, что если выполняются условия теоремы, то предел отношения двух бесконечно малых функций можно вычислить через предел отношения их производных.
7. Важно отметить, что если после первого применения теоремы мы снова получаем неопределенность 0/0 или ∞/∞, то мы можем повторно применить теорему Лопиталя.

Таким образом, теорема Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций утверждает, что если обе функции стремятся к нулю, то мы можем находить предел, используя производные этих функций. Это позволяет нам обойти неопределенность и получить конечный результат.