Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве.

Другие предметы Университет Теорема о предельном переходе теорема о предельном переходе математический анализ неравенство доказательство теоремы университетская математика Новый

Теорема о предельном переходе в неравенстве утверждает, что если последовательности {a_n} и {b_n} удовлетворяют следующим условиям:

• a_n ≤ b_n для всех n;
• a_n → A (A — конечное число или бесконечность);
• b_n → B (B — конечное число или бесконечность);

то при этом выполняется неравенство:

• A ≤ B, если A и B конечные;
• A ≤ ∞, если B = ∞;
• −∞ ≤ B, если A = −∞.

Теперь давайте рассмотрим доказательство этой теоремы.

1. Шаг 1: Понимание условий
   Мы имеем две последовательности {a_n} и {b_n}, которые ограничены друг другом, то есть a_n всегда меньше или равно b_n. Это важно, так как это условие будет основой для нашего дальнейшего рассуждения.
2. Шаг 2: Рассмотрение пределов
   Мы знаем, что a_n стремится к A, а b_n стремится к B. Теперь, поскольку a_n ≤ b_n для всех n, мы можем сказать, что в предельном переходе, когда n стремится к бесконечности, это неравенство должно сохраняться.
3. Шаг 3: Анализ пределов
   Рассмотрим два случая:
• Если A и B конечные, то поскольку a_n ≤ b_n для всех n, в пределе мы получаем A ≤ B.
• Если B = ∞, то поскольку a_n ≤ b_n, это означает, что a_n не может стремиться к значению, превышающему B, следовательно, A ≤ ∞.
• Если A = −∞, то неравенство a_n ≤ b_n также будет выполняться, и мы получим −∞ ≤ B.
4. Шаг 4: Заключение
   Таким образом, в каждом из случаев мы приходим к выводу, что предельное неравенство сохраняется. Это и есть суть теоремы о предельном переходе в неравенстве.

В заключение, теорема о предельном переходе в неравенстве позволяет нам делать выводы о пределах последовательностей, основываясь на их взаимном расположении. Это очень полезный инструмент в математическом анализе.