Матрица А удовлетворяет уравнению А² - 3А + 2E = O (E - единичная матрица, О - нулевая). Обязательно ли у нее будет обратная?

• нет
• да
• все зависит от матрицы А

Другие предметы Университет Обратимые матрицы линейная алгебра аналитическая геометрия матрица уравнение матрицы обратная матрица единичная матрица нулевая матрица свойства матриц университетская математика решение уравнений матриц Новый

Чтобы ответить на вопрос, обязательно ли матрица A будет обратимой, если она удовлетворяет уравнению A^2 - 3A + 2E = O, рассмотрим шаги решения:

1. Понимание уравнения: Уравнение A^2 - 3A + 2E = O является матричным аналогом алгебраического уравнения, где E - единичная матрица, а O - нулевая матрица. Это уравнение можно рассматривать как характеристическое уравнение для матрицы A.
2. Решение характеристического уравнения: Если мы перепишем уравнение в виде (A - E)(A - 2E) = O, то это указывает на то, что A может быть диагонализирована, и её собственные значения равны 1 и 2.
3. Анализ собственных значений: Для матрицы, чтобы быть обратимой, её определитель должен быть отличен от нуля. Определитель матрицы равен произведению её собственных значений. Если среди собственных значений есть ноль, то матрица необратима.
4. Проверка условий: В нашем случае, собственные значения равны 1 и 2. Оба значения отличны от нуля, следовательно, матрица A не может иметь нулевые собственные значения.

Вывод: Поскольку ни одно из собственных значений не равно нулю, матрица A обязательно будет обратимой. Таким образом, ответ на вопрос: да, матрица A обязательно будет обратимой.