Метод решения линейного дифференциального уравнения, при котором решение ищется в виде произведения двух функций, называется методом …

Другие предметы Университет Метод разделяющихся переменных метод произведения функций линейное дифференциальное уравнение решение дифференциального уравнения Новый

Метод решения линейного дифференциального уравнения, при котором решение ищется в виде произведения двух функций, называется методом разделения переменных.

Давайте разберем, как работает этот метод на примере:

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

dy/dx = g(x)h(y)

Шаги решения:

1. Перепишем уравнение так, чтобы разделить переменные:

Переносим все члены, содержащие y, в одну часть уравнения, а все члены, содержащие x, — в другую. Получаем:

1/h(y) * dy = g(x) * dx

2. Интегрируем обе части уравнения:

Теперь интегрируем левую часть по переменной y, а правую — по переменной x:

∫(1/h(y)) dy = ∫g(x) dx

3. Находим общее решение:

После вычисления интегралов мы получаем общее решение уравнения в неявной форме:

F(y) = G(x) + C

где F(y) — результат интегрирования левой части, G(x) — результат интегрирования правой части, а C — произвольная постоянная интегрирования.

4. При необходимости выражаем y в явном виде:

Если возможно, решаем полученное уравнение относительно y, чтобы получить явное решение.

Этот метод удобен, когда переменные можно разделить, то есть уравнение можно записать в виде, где одна часть зависит только от x, а другая — только от y.