Найдите общее решение уравнения (3x + 2)dy + (y + 2)dx = 0

1. y³ = x³ln|Cx|
2. y = xln|Cx|
3. y³ = 3x³ln|Cx|
4. x³ = y³ln|Cx|

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения высшая математика университет общее решение уравнения Дифференциальные уравнения математический анализ решение задач математические методы учебные материалы подготовка к экзаменам лекции по высшей математике Новый

Для решения данного уравнения (3x + 2)dy + (y + 2)dx = 0, начнем с приведения его к стандартному виду. Мы можем переписать его в форме:

dy/dx = -(y + 2)/(3x + 2)

Теперь мы видим, что это уравнение можно решить методом разделения переменных. Для этого мы выделим dy и dx:

(y + 2)dy = -(3x + 2)dx

Теперь мы интегрируем обе стороны:

1. Левая сторона: ∫(y + 2)dy = (1/2)y² + 2y
2. Правая сторона: ∫-(3x + 2)dx = - (3/2)x² - 2x

Теперь мы можем записать общее решение:

(1/2)y² + 2y + (3/2)x² + 2x = C

где C - произвольная константа интегрирования.

Теперь давайте рассмотрим предложенные вами уравнения:

• y³ = x³ln|Cx|
• y = xln|Cx|
• y³ = 3x³ln|Cx|
• x³ = y³ln|Cx|

Чтобы проверить, является ли какое-либо из этих уравнений решением, мы можем подставить их в общее решение, полученное выше. Например, подставим y = xln|Cx|:

1. Подставляем y = xln|Cx| в общее решение:

(1/2)(xln|Cx|)² + 2(xln|Cx|) + (3/2)x² + 2x = C

2. Упрощаем полученное выражение и проверяем, возможно ли его упростить до вида C.

Аналогично, мы можем проверить и другие уравнения.

Таким образом, общее решение уравнения (3x + 2)dy + (y + 2)dx = 0 записывается как:

(1/2)y² + 2y + (3/2)x² + 2x = C

Или, в зависимости от подстановок, можно проверить, какие из предложенных вами уравнений могут быть эквивалентны этому решению.