Чтобы найти полный дифференциал функции z = x²y + xy², мы должны использовать понятие частных производных. Полный дифференциал функции нескольких переменных выражается через частные производные по каждой переменной. Вот шаги для нахождения полного дифференциала:

1. Найдите частную производную функции z по x:
   • Для функции z = x²y + xy², частная производная по x обозначается как ∂z/∂x.
   • Применяем правила дифференцирования:
     • Первая часть: производная x²y по x будет 2xy, так как y является константой относительно x.
     • Вторая часть: производная xy² по x будет y², так как y² является константой относительно x.
   • Таким образом, ∂z/∂x = 2xy + y².
2. Найдите частную производную функции z по y:
   • Для функции z = x²y + xy², частная производная по y обозначается как ∂z/∂y.
   • Применяем правила дифференцирования:
     • Первая часть: производная x²y по y будет x², так как x² является константой относительно y.
     • Вторая часть: производная xy² по y будет 2xy, так как производная y² по y равна 2y.
   • Таким образом, ∂z/∂y = x² + 2xy.
3. Составьте полный дифференциал dz:
   • Формула полного дифференциала: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy.
   • Подставляем найденные частные производные:
     • dz = (2xy + y²)dx + (x² + 2xy)dy.

Таким образом, полный дифференциал функции z = x²y + xy² равен:

dz = (2xy + y²)dx + (x² + 2xy)dy