Найдите предел lim (1 – 7 / x)ˣ, при x ⟶ ∞

1. 1 / e⁷
2. −e⁷
3. e⁷
4. −1 / e⁷

Другие предметы Университет Пределы функций предел высшая математика университет лимит x стремится к бесконечности математический анализ экспоненциальная функция Новый

Чтобы найти предел lim (1 – 7 / x)ˣ при x → ∞, начнем с анализа выражения внутри предела.

1. Рассмотрим выражение (1 - 7/x). При x, стремящемся к бесконечности, 7/x стремится к 0. Следовательно, (1 - 7/x) стремится к 1.

2. Теперь, чтобы понять, что происходит с (1 - 7/x)ˣ, воспользуемся известной формулой для предела, которая связана с экспонентой:

Если у нас есть выражение вида (1 + a/n)ⁿ, то при n → ∞ это стремится к e^a.

В нашем случае a = -7 и n = x. Мы можем переписать (1 - 7/x)ˣ как:

(1 - 7/x)ˣ = ((1 - 7/x)^(−x))^(−1)

3. Теперь, чтобы применить формулу, преобразуем (1 - 7/x)ˣ:

lim (1 - 7/x)ˣ = lim ((1 - 7/x)^(−x))^(−1).

4. Теперь рассмотрим lim (1 - 7/x)^(−x) при x → ∞. Подставим y = -x:

lim (1 - 7/x)^(−x) = lim ((1 - 7/x)^(−x)) = e^(lim (−7)) = e^−7.

5. Теперь подставим это значение обратно:

lim (1 - 7/x)ˣ = e^−7.

Таким образом, предел lim (1 - 7/x)ˣ при x → ∞ равен e^−7.

Теперь сравним с предложенным ответом:

1 / e⁷ - e⁷e⁷ - 1 / e⁷ не является правильным ответом, так как мы получили e^−7.

Ответ: lim (1 - 7/x)ˣ при x → ∞ = e^−7.