Найдите предел lim (√(5 - x) - 2) / (√(2 - x) - 1), x -> 1

Другие предметы Университет Пределы функций предел математический анализ университет лимит функции пределы вычисление предела анализ функций образование высшее образование Новый

Для нахождения предела lim (√(5 - x) - 2) / (√(2 - x) - 1) при x стремящемся к 1, начнем с подстановки x = 1 в выражение.

Подставляем x = 1:

• √(5 - 1) - 2 = √4 - 2 = 2 - 2 = 0
• √(2 - 1) - 1 = √1 - 1 = 1 - 1 = 0

Мы получили неопределенность вида 0/0, поэтому необходимо применить другие методы для вычисления предела. В данном случае мы можем воспользоваться рационализацией числителя и знаменателя.

Рационализируем числитель:

• Умножим и числитель, и знаменатель на сопряженное выражение к числителю, то есть на (√(5 - x) + 2):

Теперь запишем наш предел:

lim (√(5 - x) - 2) / (√(2 - x) - 1) = lim [(√(5 - x) - 2)(√(5 - x) + 2)] / [(√(2 - x) - 1)(√(5 - x) + 2)]

Теперь упростим числитель:

• Числитель: (√(5 - x))^2 - 2^2 = 5 - x - 4 = 1 - x

Теперь мы можем записать предел в следующем виде:

lim (1 - x) / [(√(2 - x) - 1)(√(5 - x) + 2)]

Теперь подставим x = 1 в новое выражение:

• 1 - x = 1 - 1 = 0
• √(2 - 1) - 1 = 1 - 1 = 0
• √(5 - 1) + 2 = 2 + 2 = 4

Мы снова получили неопределенность 0/0. Теперь рационализируем знаменатель:

• Умножим и числитель, и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на (√(2 - x) + 1):

Теперь предел будет выглядеть так:

lim (1 - x)(√(2 - x) + 1) / [(√(2 - x) - 1)(√(2 - x) + 1)(√(5 - x) + 2)]

Упрощаем знаменатель:

• Знаменатель: (√(2 - x))^2 - 1^2 = 2 - x - 1 = 1 - x

Теперь мы можем сократить (1 - x) в числителе и знаменателе:

lim (√(2 - x) + 1) / (√(5 - x) + 2)

Теперь подставим x = 1:

• √(2 - 1) + 1 = 1 + 1 = 2
• √(5 - 1) + 2 = 2 + 2 = 4

Таким образом, предел равен:

lim = 2 / 4 = 1/2.

Ответ: Предел равен 1/2.