Найти коэффициент при х у z в разложении (3х2 +5у3 + 6z4)10

Другие предметы Университет Комбинаторика коэффициент при x y z разложение многочлена дискретная математика университетская математика комбинаторика биномиальная теорема Новый

Чтобы найти коэффициент при x, y и z в разложении выражения (3x² + 5y³ + 6z⁴)¹⁰, мы будем использовать теорему многочленов, известную как теорема бинома.

Сначала определим, что нам нужно для нахождения коэффициента:

• Мы ищем коэффициент при x, y и z в произведении (3x²)^{a} * (5y³)^{b} * (6z⁴)^{c}, где a + b + c = 10.
• Коэффициенты a, b и c должны быть неотрицательными целыми числами.

Теперь мы можем выразить наш коэффициент следующим образом:

Коэффициент = C(10, a, b, c) * (3^a) * (5^b) * (6^c),

где C(10, a, b, c) - это мультипликативный коэффициент, который можно найти с помощью формулы сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где n - общее количество, а k - количество выбираемых элементов.

Теперь нам нужно установить значения a, b и c. Мы знаем, что:

• x² вносит 2a в степень x, поэтому мы хотим, чтобы 2a = 1 (так как мы ищем x¹).
• y³ вносит 3b в степень y, поэтому мы хотим, чтобы 3b = 1 (так как мы ищем y¹).
• z⁴ вносит 4c в степень z, поэтому мы хотим, чтобы 4c = 1 (так как мы ищем z¹).

Однако, поскольку 2a = 1, 3b = 1 и 4c = 1 не дают целых решений (a, b и c должны быть целыми числами), мы должны искать такие a, b и c, которые в сумме дают 10:

Рассмотрим a = 0, b = 0 и c = 10:

• Тогда 2a = 0, 3b = 0, 4c = 40 (это не подходит).

Рассмотрим a = 0, b = 1 и c = 9:

• Тогда 2a = 0, 3b = 3, 4c = 36 (это не подходит).

И так далее. Мы видим, что для целых a, b и c, которые дают 1 в степени x, y и z, не существует решения, которое удовлетворяет условию a + b + c = 10.

Таким образом, коэффициент при x, y и z в разложении (3x² + 5y³ + 6z⁴)¹⁰ равен 0, так как не существует целых неотрицательных решений для a, b и c, которые удовлетворяют условиям.