Найти точку разрыва первого рода (конечный скачок) функции

Другие предметы Университет Точки разрыва функции точка разрыва первого рода конечный скачок функции математический анализ функции и разрывы учебник по математическому анализу Новый

Чтобы найти точку разрыва первого рода (конечный скачок) функции, давайте рассмотрим, что это такое. Разрыв первого рода — это точка, в которой функция имеет конечный предел с обеих сторон, но значения функции в этой точке не совпадают с пределами.

Рассмотрим следующий алгоритм для нахождения точки разрыва первого рода:

1. Определите область определения функции. Убедитесь, что вы знаете, где функция определена и где могут возникнуть разрывы.
2. Найдите точки, в которых функция может быть разрывной. Это могут быть точки, где функция не определена, или точки, где определены кусочные функции.
3. Проверьте пределы функции в этих точках. Для каждой из найденных точек разрыва, вычислите левый и правый пределы:
   • Левый предел: lim (x -> a-) f(x)
   • Правый предел: lim (x -> a+) f(x)
4. Сравните пределы с значением функции в этой точке. Если пределы существуют и конечны, но не равны друг другу и не равны значению функции в этой точке, то это точка разрыва первого рода.
5. Запишите результат. Укажите, в какой точке функция разрывается и какие значения имеют пределы и значение функции в этой точке.

Например, рассмотрим функцию:

f(x) = { x^2, при x < 1; 3, при x = 1; x + 2, при x > 1 }

Шаги решения:

1. Область определения: функция определена для всех x, кроме x = 1.
2. Проверяем точку x = 1.
3. Находим пределы:
• Левый предел: lim (x -> 1-) f(x) = lim (x -> 1-) x^2 = 1.
• Правый предел: lim (x -> 1+) f(x) = lim (x -> 1+) (x + 2) = 3.
4. Сравниваем: f(1) = 3. Пределы не равны, и значение функции в точке не совпадает с левым пределом.

Таким образом, мы нашли точку разрыва первого рода в x = 1.