Определить число положительных и число отрицательных корней уравнения х4-4х+1=0

• 0 и 4
• 2 и 0
• 0 и 4
• 0 и 1
• 3 и 2

Другие предметы Университет Анализ корней полиномиальных уравнений вычислительные методы университет уравнение корни положительные корни отрицательные корни х4-4х+1=0 математика анализ уравнений численные методы Новый

Для определения числа положительных и отрицательных корней уравнения х⁴ - 4х + 1 = 0, мы можем воспользоваться теоремой о количестве корней, которая основана на использовании производной и правилах о знаках.

Шаги решения:

1. Определим функцию:

   Обозначим нашу функцию как f(x) = x⁴ - 4x + 1.

2. Найдем производную:

   Найдём производную функции f(x):

   f'(x) = 4x³ - 4.

3. Найдем критические точки:

   Решим уравнение f'(x) = 0:

   4x³ - 4 = 0

   Это уравнение можно упростить:

   x³ = 1, отсюда x = 1.

4. Определим знаки производной:

   Теперь проанализируем знаки производной f'(x):

   • Для x < 1, f'(x) < 0 (функция убывает).
   • Для x > 1, f'(x) > 0 (функция возрастает).
5. Найдем значения функции в критической точке:

   Подставим x = 1 в функцию f(x):

   f(1) = 1⁴ - 4*1 + 1 = 1 - 4 + 1 = -2.

6. Определим поведение функции:

   Теперь рассмотрим пределы функции:

   • При x → -∞, f(x) → +∞.
   • При x → +∞, f(x) → +∞.

   Таким образом, у нас есть следующее поведение:

   • f(x) положительна при x < 0, затем убывает и достигает -2 в точке x = 1, и снова возрастает, переходя в положительное значение при x > 1.
7. Определим количество корней:

   Мы можем сделать вывод, что функция имеет:

   • 1 положительный корень (между 1 и +∞).
   • 1 отрицательный корень (между -∞ и 0, так как функция меняет знак).

Итак, у уравнения x⁴ - 4x + 1 = 0 есть 1 положительный корень и 1 отрицательный корень.