Определить как ведет себя метод простой итерации для линейной системы.
100x+y=102
x+200y=202

Другие предметы Университет Методы решения линейных систем метод простой итерации линейная система вычислительные методы решение уравнений анализ сходимости численные методы математическое моделирование университетские курсы Новый

Для анализа поведения метода простой итерации для данной линейной системы уравнений, сначала запишем систему в стандартной форме:

• 100x + y = 102
• x + 200y = 202

Теперь мы можем выразить переменные x и y через итерационные формулы. Для этого нам нужно выразить одну переменную через другую. Начнем с первого уравнения:

1. Из первого уравнения выразим y:

y = 102 - 100x

2. Подставим это значение y во второе уравнение:

x + 200(102 - 100x) = 202

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x + 20400 - 20000x = 202

(-19999)x + 20400 = 202

19999x = 20400 - 202

19999x = 20198

x = 20198 / 19999

3. Теперь найдем y, подставив значение x обратно в первое уравнение:

y = 102 - 100 * (20198 / 19999)

4. Теперь мы можем записать итерационные формулы:

• x_n+1 = 20198 / 19999
• y_n+1 = 102 - 100 * x_n+1

5. Определим, сходимся ли мы к решению:

Метод простой итерации будет сходиться, если итерационные функции являются сжимающими, т.е. если существует константа k < 1, такая что:

|f(x) - f(y)| <= k |x - y| для всех x и y в области определения.

Для проверки сходимости, найдем производные:

• f'(x) = -20000
• g'(y) = -100

Так как производные по модулю больше 1, это указывает на то, что метод простой итерации не будет сходиться для данной системы уравнений.

Вывод: Метод простой итерации для данной линейной системы не будет сходимым, так как производные итерационных функций по модулю превышают 1. В таком случае стоит рассмотреть другие методы решения, такие как метод Гаусса или метод Зейделя.