Определить как ведет себя метод простой итерации для линейной системы
-3x+y=-1
2x+4y=10

Другие предметы Университет Методы решения линейных систем уравнений метод простой итерации линейная система вычислительные методы анализ сходимости решение уравнений численные методы математическая модель университетская программа Новый

Метод простой итерации — это численный метод, который используется для решения уравнений и систем уравнений. В данном случае мы рассмотрим, как он работает для линейной системы уравнений:

• -3x + y = -1
• 2x + 4y = 10

Для начала, нам нужно привести систему уравнений к форме, удобной для применения метода простой итерации. Для этого мы можем выразить одну переменную через другую. Давайте выразим y через x из первого уравнения:

1. Из первого уравнения: y = -1 + 3x
2. Подставим это выражение во второе уравнение:
3. 2x + 4(-1 + 3x) = 10
4. Упростим уравнение:
5. 2x - 4 + 12x = 10
6. 14x - 4 = 10
7. 14x = 14
8. x = 1

Теперь, зная x, можем найти y:

1. Подставляем x = 1 в выражение для y: y = -1 + 3(1) = 2

Таким образом, мы нашли одно решение системы: (x, y) = (1, 2).

Теперь давайте рассмотрим, как метод простой итерации будет вести себя. Мы можем записать итерационные формулы для x и y:

• x(k+1) = (10 - 4y(k)) / 2
• y(k+1) = -1 + 3x(k)

Теперь начнем итерации с некоторого начального приближения, например, x(0) = 0 и y(0) = 0:

1. На первой итерации:
2. x(1) = (10 - 4*0) / 2 = 5
3. y(1) = -1 + 3*0 = -1

2. На второй итерации:
3. x(2) = (10 - 4*(-1)) / 2 = 7
4. y(2) = -1 + 3*5 = 14

Продолжаем итерации, и в каждой итерации будем наблюдать, как значения x и y изменяются. Если метод сходится, то значения должны приближаться к (1, 2).

Важно отметить, что метод простой итерации может не сходиться для некоторых начальных приближений или для некоторых систем. Чтобы гарантировать сходимость, нужно, чтобы матрица системы удовлетворяла условиям сходимости (например, чтобы ее собственные значения имели модуль меньше 1).

В нашем случае, так как система линейная и мы получили конкретное решение, метод простой итерации будет сходиться, если мы правильно выберем начальные значения и будем следить за процессом итерации.