Понятие совместности СЛАУ.Доказательство критерия совместности СЛАУ.

Другие предметы Университет Совместность систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) линейная алгебра аналитическая геометрия СЛАУ совместность СЛАУ критерий совместности доказательство СЛАУ университетская математика Новый

Совместность системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) означает, что существует хотя бы одно решение для данной системы уравнений. Если система не имеет решений, то она называется несовместной. Важно понимать, что совместность системы зависит от соотношения между коэффициентами уравнений и свободными членами.

Рассмотрим общую систему линейных уравнений:

• a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b1
• c1*x1 + c2*x2 + ... + cn*xn = b2
• ...
• m1*x1 + m2*x2 + ... + mn*xn = bm

Где a, b, c и m - коэффициенты, а x1, x2, ..., xn - переменные.

Критерий совместности СЛАУ: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы (матрицы коэффициентов с добавленным столбцом свободных членов).

Теперь давайте докажем этот критерий.

1. Определим матрицы:
   • Матрица коэффициентов A – это матрица, составленная из коэффициентов уравнений.
   • Расширенная матрица A' – это матрица, составленная из матрицы коэффициентов A и столбца свободных членов b.
2. Ранг матрицы:
   • Ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых строк (или столбцов) в данной матрице.
   • Для системы уравнений, если ранг матрицы A равен рангу матрицы A', то система имеет решения.
3. Доказательство:
   • Если ранг A равен рангу A' и равен r, то существует r линейно независимых уравнений, которые можно решить для r переменных.
   • Если количество уравнений больше количества переменных (m > n), то система может быть либо совместной, либо несовместной, но если ранг равен r, то мы можем выразить n-r переменных через r других. Таким образом, система имеет решения.
   • Если ранг A меньше ранга A', это означает, что добавление свободного члена создало противоречие, следовательно, система несовместна.

Таким образом, мы доказали, что система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.