Решением задачи Коши y`=y/2x+y^2/4x^2, y(1)=2 является:

• y=2x+c
• y=2x
• y=x^2+1

Другие предметы Университет Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений задача Коши математический анализ решение уравнения университет Дифференциальные уравнения y' = y/2x + y^2/4x^2 Новый

Для решения задачи Коши, заданной уравнением:

y' = y/(2x) + y^2/(4x^2)

с начальным условием y(1) = 2, мы будем использовать метод разделения переменных.

Сначала перепишем уравнение:

y' = (y/(2x)) + (y^2/(4x^2))

Теперь, чтобы разделить переменные, мы можем привести уравнение к следующему виду:

y' = (1/(2x))y + (1/(4x^2))y^2

Мы можем выразить y' как dy/dx и переписать уравнение:

dy/dx = (1/(2x))y + (1/(4x^2))y^2

Теперь мы можем разделить переменные:

dy / (y/(2x) + y^2/(4x^2)) = dx

Для упрощения левой части, мы можем вынести общий множитель:

dy / y = (2x/(y + (1/2)x^2)) dx

Теперь интегрируем обе стороны:

• Левую часть: ∫ (1/y) dy = ln|y| + C
• Правую часть: ∫ (2x/(y + (1/2)x^2)) dx

Решив интегралы, мы получим общее решение. После получения общего решения, подставим начальное условие y(1) = 2 для нахождения постоянной интегрирования.

Однако, давайте сразу проверим предложенные решения:

y = 2x + c

y = 2xy

y = x^2 + 1

Подставим x = 1 и y = 2 в каждое из этих решений:

• Для y = 2x + c: 2 = 2(1) + c ⇒ c = 0 ⇒ y = 2x
• Для y = 2xy: 2 = 2(1)(2) ⇒ 2 = 4 (неверно)
• Для y = x^2 + 1: 2 = 1^2 + 1 ⇒ 2 = 2 (верно)

Таким образом, из предложенных решений, y = 2x и y = x^2 + 1 являются возможными решениями. Однако, учитывая начальное условие, y = 2x является правильным решением задачи Коши.

Ответ: y = 2x.