Сколькими способами можно выбрать 5 интервалов из целых чисел в множестве 1, 2, ..., 11 так, чтобы пересечение любых двух из них было пустым?
Интервал натуральных чисел - это набор из одного или нескольких последовательных натуральных чисел.

Другие предметы Университет Комбинаторика выбор интервалов высшая математика комбинаторика университет пустое пересечение интервалы целых чисел натуральные числа количество способов выбора математические задачи теория множеств Новый

Для решения данной задачи необходимо понять, как можно выбрать 5 непересекающихся интервалов из множества целых чисел от 1 до 11.

Первым шагом определим, что такое интервал. Интервал натуральных чисел - это последовательность натуральных чисел, например, интервал от 1 до 3 включает числа 1, 2 и 3. Мы можем обозначить интервал от a до b как [a, b].

Поскольку мы должны выбрать 5 интервалов, которые не пересекаются, важно учитывать, что каждый интервал должен быть ограничен так, чтобы не пересекаться с другими интервалами. Для этого мы будем использовать подход, который включает в себя разбиение множества целых чисел на непересекающиеся части.

Предположим, что мы выбрали 5 интервалов, которые мы обозначим как I1, I2, I3, I4 и I5. Каждый интервал будет иметь начало и конец, и между интервалами должны быть "пробелы", чтобы избежать пересечения.

Для удобства представим, что мы располагаем 11 единицами (числами от 1 до 11) и нам нужно выделить места для 5 интервалов, а также учесть "разделители" между ними. Таким образом, мы можем рассматривать каждую пару интервалов как одну "ячейку".

Теперь, чтобы упростить задачу, введем переменные:

• x1 - количество чисел перед первым интервалом
• x2 - количество чисел между первым и вторым интервалом
• x3 - количество чисел между вторым и третьим интервалом
• x4 - количество чисел между третьим и четвертым интервалом
• x5 - количество чисел между четвертым и пятым интервалом
• x6 - количество чисел после пятого интервала

Мы знаем, что сумма всех этих переменных должна равняться 11, но поскольку нам нужны "разделители", между интервалами должно быть как минимум по 1 числу. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

x1 + (x2 + 1) + (x3 + 1) + (x4 + 1) + (x5 + 1) + x6 = 11

Упрощая это уравнение, мы получаем:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 6

Теперь мы должны найти количество неотрицательных целых решений этого уравнения. Для этого мы можем использовать формулу для количества решений уравнения:

Количество решений уравнения x1 + x2 + ... + xn = k в неотрицательных целых числах равно C(n + k - 1, k), где C - биномиальный коэффициент.

В нашем случае n = 6 (это количество переменных) и k = 6 (это сумма). Таким образом, мы ищем:

C(6 + 6 - 1, 6) = C(11, 6)

Теперь вычислим биномиальный коэффициент:

C(11, 6) = 11! / (6! * (11 - 6)!) = 11! / (6! * 5!)

Вычисляя факториалы, мы получаем:

• 11! = 39916800
• 6! = 720
• 5! = 120

Подставляем значения:

C(11, 6) = 39916800 / (720 * 120) = 462

Таким образом, ответ на вопрос: существует 462 способа выбрать 5 непересекающихся интервалов из целых чисел от 1 до 11.