Для решения задачи необходимо найти частное решение данного дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение имеет вид:

y' + 2y = 4

и начальное условие:

y(0) = 5

Для нахождения решения мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Вот шаги решения:

1. Приведение уравнения к стандартной форме: Уравнение уже представлено в стандартной линейной форме: y' + P(x)y = Q(x), где P(x) = 2 и Q(x) = 4.
2. Нахождение интегрирующего множителя: Интегрирующий множитель μ(x) находится по формуле: μ(x) = e^(∫P(x) dx). В данном случае P(x) = 2, поэтому:
   • ∫P(x) dx = ∫2 dx = 2x
   • μ(x) = e^(2x)
3. Умножение уравнения на интегрирующий множитель: Умножаем оба члена уравнения на e^(2x):
   • e^(2x)y' + 2e^(2x)y = 4e^(2x)
   Это позволяет переписать левую часть уравнения как производную произведения:
   • (e^(2x)y)' = 4e^(2x)
4. Интегрирование обеих частей уравнения: Интегрируем обе части уравнения по x:
   • ∫(e^(2x)y)' dx = ∫4e^(2x) dx
   • e^(2x)y = 2e^(2x) + C
   где C — константа интегрирования.
5. Нахождение константы C: Используем начальное условие y(0) = 5:
   • e^(2*0)*5 = 2e^(2*0) + C
   • 5 = 2 + C
   • C = 3
6. Запись общего решения: Теперь мы можем записать общее решение:
   • e^(2x)y = 2e^(2x) + 3
   • y = 2 + 3e^(-2x)

Таким образом, частное решение уравнения с данным начальным условием:

y(x) = 2 + 3e^(-2x)