Уравнение y' +2y=4 при условии y(0)=5 имеет частное решение…

• y=3e⁻²ˣ+5
• y=3e⁻²ˣ+2
• y=3e⁻²ˣ

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения первого порядка высшая математика уравнение частное решение университет Дифференциальные уравнения математический анализ y' y(0)=5 метод решения математические модели Новый

Для решения уравнения y' + 2y = 4 с начальным условием y(0) = 5, давайте сначала найдем общее решение данного дифференциального уравнения.

1. **Определим тип уравнения.** Это линейное однородное уравнение первого порядка. Мы можем решить его методом интегрирующего множителя.

2. **Найдем интегрирующий множитель.** Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

• μ(x) = e^(∫P(x)dx), где P(x) = 2.

Таким образом:

• μ(x) = e^(∫2dx) = e^(2x).

3. **Умножим уравнение на интегрирующий множитель.** Умножаем все части уравнения на e^(2x):

• e^(2x) * y' + 2e^(2x) * y = 4e^(2x).

4. **Перепишем левую часть как производную.** Левую часть можно записать как производную:

• (e^(2x) * y)' = 4e^(2x).

5. **Интегрируем обе стороны.** Интегрируем обе стороны по x:

• ∫(e^(2x) * y)' dx = ∫4e^(2x) dx.
• e^(2x) * y = 2e^(2x) + C, где C - константа интегрирования.

6. **Решаем для y.** Теперь выразим y:

• y = 2 + Ce^(-2x).

7. **Найдем константу C, используя начальное условие.** Подставим начальное условие y(0) = 5:

• 5 = 2 + Ce^(0),
• 5 = 2 + C,
• C = 3.

8. **Запишем частное решение.** Теперь подставим значение C в общее решение:

• y = 2 + 3e^(-2x).

Таким образом, частное решение уравнения y' + 2y = 4 с начальным условием y(0) = 5 будет:

y = 2 + 3e^(-2x).

Это окончательный ответ на задачу.