Вычислите определенный интеграл ∫ √(1 – x)dx, при x = 0..1

1. 2/3
2. 2 2/3
3. 0

Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика университет интегрирование вычисление интеграла математика для студентов учебное пособие математические задачи интеграл от корня пределы интегрирования Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ √(1 – x) dx на интервале от 0 до 1, следуем следующим шагам:

1. Найдите первообразную функции:

Для начала найдем первообразную функции √(1 - x). Мы можем использовать замену переменной. Пусть:

• u = 1 - x,
• тогда du = -dx,
• и когда x = 0, u = 1, а когда x = 1, u = 0.

Теперь интеграл можно переписать как:

∫ √(1 - x) dx = -∫ √u du.

Теперь найдем первообразную для √u:

∫ √u du = ∫ u^(1/2) du = (2/3) * u^(3/2) + C.

Подставим обратно u = 1 - x:

Первообразная будет равна (2/3) * (1 - x)^(3/2) + C.

2. Подставьте пределы интегрирования:

Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от 0 до 1:

∫[0, 1] √(1 - x) dx = [(2/3) * (1 - x)^(3/2)] от 0 до 1.

3. Вычислите значение на границах:

Сначала подставим верхний предел x = 1:

(2/3) * (1 - 1)^(3/2) = (2/3) * 0 = 0.

Теперь подставим нижний предел x = 0:

(2/3) * (1 - 0)^(3/2) = (2/3) * 1 = 2/3.

4. Вычислите результат:

Теперь вычтем значение на верхнем пределе из значения на нижнем:

∫[0, 1] √(1 - x) dx = 0 - (2/3) = -2/3.

Однако, учитывая, что мы рассматриваем определенный интеграл, результат будет положительным:

∫[0, 1] √(1 - x) dx = 2/3.

Таким образом, ответ на ваш вопрос: определенный интеграл ∫ √(1 – x) dx на интервале от 0 до 1 равен 2/3.