Для решения задачи максимизации функции min [x₁/2 + 32, x₂ + 8, x₃ + 5, x₄/2 + 3] при заданных условиях, мы будем следовать определенным шагам.

1. Определение переменных: У нас есть четыре переменные: x₁, x₂, x₃ и x₄, которые представляют собой количество ресурса, выделенного для каждой из четырех функций.
2. Формулировка задачи: Мы хотим максимизировать минимальное значение из четырех выражений: x₁/2 + 32, x₂ + 8, x₃ + 5 и x₄/2 + 3. При этом сумма всех переменных должна равняться 23, и все переменные должны быть неотрицательными целыми числами.
3. Введение новой переменной: Обозначим минимальное значение как M. Таким образом, мы можем записать следующие неравенства:
   • x₁/2 + 32 ≥ M
   • x₂ + 8 ≥ M
   • x₃ + 5 ≥ M
   • x₄/2 + 3 ≥ M
4. Переписывание неравенств: Из каждого неравенства выразим x₁, x₂, x₃ и x₄ через M:
   • x₁ ≥ 2M - 64
   • x₂ ≥ M - 8
   • x₃ ≥ M - 5
   • x₄ ≥ 2M - 6
5. Подстановка в ограничение: Теперь подставим эти выражения в условие x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 23:
   • (2M - 64) + (M - 8) + (M - 5) + (2M - 6) = 23
6. Упрощение уравнения: Упростим уравнение:
   • 2M + M + M + 2M - 64 - 8 - 5 - 6 = 23
   • 6M - 83 = 23
   • 6M = 106
   • M = 17.67
7. Округление до целого числа: Поскольку xᵢ должны быть целыми, мы округляем M до ближайшего целого числа. В данном случае M = 17.
8. Подстановка M: Теперь подставим M = 17 в наши неравенства:
   • x₁ ≥ 2(17) - 64 = -30 (поскольку x₁ ≥ 0, x₁ = 0)
   • x₂ ≥ 17 - 8 = 9
   • x₃ ≥ 17 - 5 = 12
   • x₄ ≥ 2(17) - 6 = 28
9. Оптимальное распределение: Теперь, чтобы удовлетворить условию x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 23, нам нужно проверить возможные комбинации целых чисел, которые соответствуют этим ограничениям. Мы можем начать с x₂ и x₃, так как они имеют наименьшие ограничения, и подбирать значения x₄, чтобы сумма была равна 23.
10. Пример решения: Например, если:
    • x₂ = 9
    • x₃ = 12
    • x₄ = 2
    • x₁ = 0
    Тогда x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0 + 9 + 12 + 2 = 23. Это подходит.

Таким образом, одно из возможных оптимальных распределений ресурсов - это x₁ = 0, x₂ = 9, x₃ = 12, x₄ = 2. Вы можете проверить другие комбинации, чтобы найти другие возможные решения, но это даст вам общее представление о подходе к решению задачи.